师：今天我们学习的课题是六点四，探索三角形相似条件。探索三角形相似的条件，这条漫漫长路我们走到了今天，将进入尾声，这节课就让我们用曾经所学的知识来解决一些问题。

　　如图，在三角形 ABC 与三角形 A'B'C'中，∠B = ∠B' = 90°。请添加一个条件，使得三角形 ABC 相似于三角形 A'B'C'。请同学们暂停视频，思考一下。

　　接下来，我们一起来看看同学们完成得怎么样。相信大家添加的条件有所不同，那么大家是如何思考的呢？根据题目条件可知∠B = ∠B'，也就是说这两个三角形相似已经有了一组角相等，那么剩下的一个条件可以添加什么呢？

　　有同学根据“两角分别相等的两个三角形相似”，认为可以再添一组角相等，那么就可以添加∠A = ∠A'，或者∠C = ∠C'。

　　还有同学想到根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，认为可以再添两边成比例的条件，那么这两条边就必须是∠B 与∠B'的两条夹边，因此就可以添加 AB : A'B' = BC : B'C'。同学们，你还能想到添加什么条件呢？

　　仔细研究条件可以发现，∠B 与∠B'不仅相等，还等于 90°，说明这两个三角形是特殊的直角三角形。同学们，你们又想到了什么吗？请大家再思考一下。

　　相信有不少同学已经想到了。对于特殊的直角三角形而言，我们除了利用角、边以及边这些一般的方法来判定全等以外，还可以利用特殊的 HL 进行判定。而本节我们是类比三角形全等的条件来研究三角形相似的条件。那么类似的，对于特殊的直角三角形是否也存在着一些特殊的方法来判定它们相似呢？

　　讲到这，有同学就会想到可以添加这样的条件：如图，在三角形 ABC 与三角形 A'B'C'中，∠B = ∠B' = 90°，AC : A'C' = AB : A'B'，三角形 ABC 与三角形 A'B'C'相似吗？为什么？如果刚才你没有想到这个情况，那么现在请大家再次暂停视频，认真研究一下这个问题。

　　直觉告诉我们这两个三角形应该是相似的，那么大家是如何证明的呢？有同学想到回顾之前的学习过程，本节我们在验证三角形相似的条件提出的三个猜想的时候，一直在用一种证明方法，也就是在三角形 ABC 中构造出一个小三角形，使得这个小三角形既与三角形 ABC 相似，又与三角形 A'B'C'全等，这样就可以得到三角形 ABC 与三角形 A'B'C'相似。

　　同学们，你们还记得是如何构造这样的小三角形的吗？我们是在边 AB 上截取 AD = A'B'，再过点 D 作 DE∥BC。那么对于这个问题，我们是否也可以这样去解决呢？我们一起来看看。

　　首先根据 DE∥BC，我们可以得到三角形 ADE 相似于三角形 ABC。而要想证明三角形 ABC 相似于三角形 A'B'C'，只要证明三角形 ADE 全等于三角形 A'B'C'即可。

　　由辅助线可知这两个三角形全等已经有了一组对应边，AD = A'B'，再根据∠B = ∠B' = 90°，由平行我们可以得到∠ADE = ∠B，等量代换以后得到∠ADE = ∠B' = 90°。

　　还有什么条件呢？还有 AC : A'C' = AB : A'B'。那么根据平行我们也可以得到对应线段成比例。结合已知条件，我们可以推出 AC : AE = AB : AD，对比这两个比例式，以及 AD = A'B'，最终可以推出 AE = A'C'。所以根据 HL 就可以证明三角形 ADE 全等于三角形 A'B'C'，进而推出三角形 ABC 相似于三角形 A'B'C'，大家理解了吗？请同学们根据以上的分析，完成证明的过程。还有同学能提出其他的证明思路吗？

　　有同学还想到了关于直角三角形，我们还学过勾股定理，那么只要设 AC : A'C' = AB : A'B' = k，就可以得到 AC = k 倍的 A'C'，AB = k 倍的 A'B'，再根据勾股定理就可以得到 BC = k 倍的 B'C'。最后根据三边成比例就可以推出三角形 ABC 相似于三角形 A'B'C'，同学们可以在课后进一步进行探索。

　　接下来让我们看例题。如图，在三角形 ABC 中，AB = AC，点 D 在 BC 上，AD 的延长线交三角形 ABC 的外接圆于点 E，三角形 ABE 与三角形 CDE 相似吗？为什么？这个图形看上去有些复杂，请同学们暂停视频，仔细观察，认真研究一下。

　　同学们应该都有了一些思路了，接下来我们一起来分析一下。首先从条件出发，根据 AB = AC，我们可以得到等边对等角。而此时 AB 与 AC 在圆 O 中，它们是圆 O 的两条弦。在同圆或等圆中，两条弦相等意味着两条弦所对的弧相等，也就是弧 AB = 弧 AC。

　　那么弧等又能得到什么呢？同样的，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。观察图形，我们可以看出来弧 AB 与弧 AC 分别对应了哪些圆周角呢？这里有∠1 与∠2，还有∠3 与∠4，说明这四个角都是相等的，这为我们证明三角形 ABE 与三角形 CDE 的相似提供了一组角相等，即∠3 = ∠4。

　　还可以找到什么条件呢？再观察图形可以发现弧 BE 对应着圆周角∠5 与∠6，所以∠5 = ∠6，它们也是三角形 ABE 与三角形 CDE 的一组对应角。类似的，由弧 CE 我们还可以得到∠7 与∠8 相等。根据“两角分别相等的两个三角形相似”，我们就可以得到三角形 ABE 相似于三角形 CDE。

　　下面让我们来看一下完整的解答过程，同学们，你做对了吗？这里老师想好好利用一下这个图形，仔细观察图形，你还能发现其他的相似三角形吗？请同学们擦亮眼睛，再仔细找一找。

　　让我们一起来看看同学们都找到了哪些呢？有一些同学从图形中看到了一些我们之前所总结过的相似模型，这里有反 X 型相似，比如说左边的三角形 ABD 相似于右边的三角形 CED，有∠6 = ∠5，∠2 = ∠4，可以得到。同样的，对于上下两个三角形 BDE 与三角形 ADC 而言，它们也是相似的，因为∠7 = ∠8，∠3 = ∠1。

　　还有吗？不错，还有一些同学发现了这里还有共边反 A 型相似，比如说三角形 ADC 相似于三角形 ACE，可以由∠8 = ∠8，∠1 = ∠4 得到。类似的还有三角形 ABD 相似于三角形 AEB，由∠6 = ∠6，∠2 = ∠3 得到。