师：同学们，上节课我们从边角、线形几个方面探究了相似三角形的性质，请大家回顾一下，相似三角形有哪些性质呢？

　　生：相似三角形的对应角相等，对应边成比例。相似三角形对应线段的比等于相似比，周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。

　　师：有了这些性质，就能解决更多问题了。这节课我们就来学习相似三角形性质的一些应用。问题一：在比例尺为1:500的地图上，测得三角形地块ABC周长为12厘米，面积为6平方厘米。求这个地块的实际周长和面积。请暂停视频思考一下这个问题。我们一起分析，如果把实际三角形地块记为三角形A'B'C'，那么三角形ABC相似于三角形A'B'C'，且相似比k = 1:500。所以三角形ABC的周长与三角形A'B'C'的周长之比为1:500，三角形ABC面积与三角形A'B'C'面积之比为1:250000 。这里我们根据的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。所以三角形A'B'C'的周长 = 12×500 = 6000厘米 = 60米，三角形A'B'C'的面积 = 6×250000 = 1500000平方厘米 = 150平方米。答：这个地块的实际周长为60米，面积为150平方米。

　　接下来看第二个问题，在三角形ABC中，点D在AB上，DE平行BC，交AC于点E ，设DE = 6，BC = 10，两条平行线间的距离为5，求点A到DE、BC的距离。请暂停视频思考一下。

　　师：同学们应该有想法了，我们一起分析。这道题要求点A到DE、BC的距离，首先过点A作AF垂直BC，垂足为F，AF交DE于点G。这时能看出点A到BC的距离是哪条线段的长度吗？

　　生：是线段AF。

　　师：由AF垂直BC可知∠AFB = 90度。结合已知条件DE平行BC，可以得到∠AGD = ∠AFB = 90度，根据垂直的定义，则AG垂直DE。这时我们就知道点A到DE的距离其实就是线段AG的长度。只要求出AG和AF的长度问题就解决了。我们继续看，因为AG垂直DE，且两条平行线间的距离为5，所以GF = 5，可是AG和AF的长度依然无法求出。遇到这种问题该怎么办呢？仔细观察，AG和AF分别是三角形ADE和三角形ABC的高。如果这两个三角形相似，那么根据相似的性质就可以得到对应高的比等于相似比。如何说明三角形ADE和三角形ABC相似呢？

　　生：回到刚刚的条件DE平行BC就可以说明三角形ADE相似于三角形ABC。

　　师：接下来可以得到AG比AF等于DE比BC。这里利用的是什么知识呢？

　　生：相似三角形对应高的比等于相似比，题目中对应边的比就是相似比。

　　师：已知DE = 6，BC = 10，且AF = AG + GF。所以AG比（AG + 5）等于3:5。解得AG = 7.5，AF = AG + 5 = 12.5。即点A到DE、BC的距离分别为7.5、12.5。这道题主要考察了相似三角形的判定和性质、平行线的性质等知识点，在求线段长的时候一定要注意写出正确的比例式。同学们，你们做对了吗？请大家对照具体的解答过程，完善自己的作答。

　　问题三：在四边形ABCD中，BD平分∠ABC交AC于点E，且BD2 = AB×BC。求证AD2:CD2 = AE:CE。请暂停视频思考一下这个问题。

　　师：我们一起分析，在四边形ABCD中，已知BD平分∠ABC，由角平分线的定义可以得到∠ABD = ∠DBC。由条件BD2 = AB×BC可以得到BD:AB = BC:BD，利用的是什么知识呢？

　　生：等式的性质。

　　师：结合∠ABD = ∠DBC和BD:AB = BC:BD，我们又可以得到什么？

　　生：三角形ABD相似于三角形DBC，这里利用的是两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。

　　师：再来看需要求证的内容，AD2:CD2 = AE:CE。看到等式左边的式子，你想到了什么？

　　生：AD:CD是三角形ABD和三角形DBC对应边的比，也就是三角形ABD和三角形DBC的相似比，那么AD2:CD2就是相似比的平方。