师：同学们，今天我们学习的课题是第一章一元二次方程小基预思考。首先来复习一下，本章学习了哪些内容呢？和其他方程章节一样，都是从实际问题出发，设未知数表示等量关系，得到方程模型，接着研究方程的解、解法以及解与系数的关系，最后用方程解决问题，一元二次方程也不例外。今天我们就来复习一元二次方程的定义、解法以及解与系数的关系。

　　先复习定义，来看问题二，判定下列方程是否是一元二次方程。要解决这个问题，得回到定义。一元二次方程的定义是什么呢？它有三个属性：只含有一个未知数，未知数的最高次数是二，等式两边都是整式的方程，就叫一元二次方程。也可以这样说，首先它是整式方程，并且能整理成(ax2 + bx + c = 0)（(a)、(b)、(c)为常数且(a≠0)）的形式。那对这些方程，思考哪些不是一元二次方程，为什么呢？比如有的方程因为含有分式，它是分式方程，不是整式方程，所以当然不是一元二次方程。再看有的方程看似是，但对照整理后，发现等式两边的(x2)项可以抵消，实际上它是一元一次方程，所以也不是。其他方程都是整式方程，且都能转化为一般形式，因此它们都是一元二次方程。同学们，判断一个方程是什么方程，一要看形式，二要看整理后的结果。

　　研究完定义，接下来复习如何解一元二次方程。请思考这两个问题：一、解一元二次方程的基本思路是什么？二、通过哪些方法能将一元二次方程转化为一元一次方程？

　　解一元二次方程的基本思想是降次，把一元二次方程降次为一元一次方程。那如何降次呢？有四种方法，分别是直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。最后解降次后的一元一次方程，所得方程的解就是一元二次方程的解，当然解方程后还需要检验。同学们再思考一下，这四种解法之间有什么区别和联系呢？

　　首先，配方法就是将一元二次方程的一般形式通过配方，配成直接开平方的形式。再看因式分解法，通过提公因式、乘法公式、十字相乘等，将方程变为(a×b = 0)的形式。公式法是由配方法推导而来的，它必须将方程整理成一般形式，再用(a)、(b)、(c)表示方程的根。

　　友情提醒，任何一个一元二次方程都能配成直接开平方的形式。但是公式法和因式分解法必须要确保方程有解，也就是(b2 - 4ac≥0)。回到要解的方程，这四种解法该如何选择呢？要遵循易于转化的原则，也就是观察方程更像下面这三种形式中的哪一种，看方程的样子，更接近于哪种形式，从而确定解法。比如：一、易于转化成直接开平方和因式分解的形式；二、易于配方和因式分解；三、易于配方和公式法；四、易于公式法；五、易于十字相乘因式分解和公式法；六、适合因式分解法，当然六也可以化成一般式，再用公式法。那易于配方有什么特征呢？像某些方程，它们有个共性，一般式中(a = 1)，(b)为偶数。公式法是万能的，比如有的方程用配方法就比较复杂，但用公式法比较简单。对于因式分解法我们要优先考虑，像一些方程就易于用因式分解法。具体看一下解法及格式：

　　方程两边同时除以(4)，解得((x - 2)2 = \frac{9}{4})，再开方；或者将(9)移到左边，用平方差公式。

　　两边同时加(4)，易得((x - 2)2 = 4)。当然，也可以直接提取(x)，得到(x(x - 4) = 0)。

　　两边同时加上(6)，得((x - 1)2 = 6)。因为它是一般式，也可以直接用公式法。

　　因为它是一般式，可直接用公式法。

　　因为(x2 - 3x + 2)，可用十字相乘，得到((x - 1)(x - 2))。同样，因为它是一般式，也可以直接用公式法。

　　等式两边都有公因式(x - 3)，易于提取公因式。同学们，对于解方程，老师在这里强调一下，拿到一个方程，首先要善于观察方程的特征，观察方程项与项的关系。比如说第六题，能观察到左右两边都含有(x - 3)，所以方法就应该是因式分解法提取公因式。

　　知道怎么解，那我们能不能不解方程就知道方程根的情况呢？请判定下列一元二次方程根的情况。这些解法之间有何关联？请先思考有几种方法判断一元二次方程根的情况，这些方法之间有什么关联？

　　我们知道(ax2 + bx + c = 0)（(a≠0)）可以配成((x + h)2 = k)的形式。如果用(a)、(b)、(c)来表示，配方后的结果应该为((x + \frac{b}{2a})2 = \frac{b2 - 4ac}{4a2})。观察对比会发现，其实(h)就是(\frac{b}{2a})，(k)就是(\frac{b2 - 4ac}{4a2})，因为(4a2＞0)，则(k)与(b2 - 4ac)的正负性是一致的。也就是说(b2 - 4ac＞0)，那这个(k)就大于(0)；(b2 - 4ac = 0)，那么(k)就等于(0)；(b2 - 4ac＜0)，那(k)就小于(0)。(k＞0)时，可以开方，有两个不相等的根；(k = 0)时，开方有两个相等的根；(k＜0)时，不能开方。因此，判断一个一元二次方程根的情况，我们有两种方法。如果是一般式，我们用(b2 - 4ac)与(0)的关系；如果是直接开平方的形式，我们用(k)和(0)的关系。