师：今天我们学习的课题是第二章对称图形——圆的小结与思考。首先，我们来回顾本章学习的几个数理依据。

　　第一个是圆心角、弧、弦之间的关系。在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。比如在圆(O)中，若(\angle AOB = \angle A'OB')，那么弧(AB =)弧(A'B')，弦(AB =)弦(A'B')。而且在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。例如，由条件弦(AB = A'B')，就可推出(\angle AOB = \angle A'OB')，弧(AB =)弧(A'B')。这样的关系打破了弦、角、弧之间等量传递的限制。同时，圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，若(\angle AOB)的度数是(50)度，则弧(AB)的度数为(50)度。

　　第二个是垂径定理。我们知道圆既是中心对称图形，对称中心是圆心，也是轴对称图形，过圆心的每一条直线都是它的对称轴。垂径定理描述的是垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。如图，(CD)是直径且(CD)垂直于弦(AB)，那么可推出(AM = BM)，弧(AC =)弧(BC)，弧(AD =)弧(BD)。我们把圆心(O)与点(A)以及点(M)连起来，能得到一个直角三角形，这是一个重要的基本图形，我们称它为垂径定理直角三角形。在圆的半径(OA)、弦(AB)的一半(AM)、圆心到(AB)的距离(OM)以及弧(AB)的中点(C)到(AB)的距离(CM)这四条线段中，已知两条线段，就可以求出另外两条线段。下面来看例题。

　　例(1)（(2020)广州）：往直径为(52)厘米的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽(AB = 48)厘米，则水的最大深度为多少？同学们思考一下如何解决。

　　生：可以利用刚才学到的垂径定理直角三角形来解决问题。连接(OB)，过点(O)作(OC)垂直于(AB)于点(D)，交圆(O)于点(C)。因为(AB = 48)，所以(BD = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×48 = 24)。又因为圆(O)的直径为(52)，所以(OB = OC = 26)。在(Rt\triangle OBD)中，根据勾股定理(OD = \sqrt{OB^{2} - BD^{2}} = \sqrt{26^{2} - 24^{2}} = 10)，所以(CD = OC - OD = 26 - 10 = 16)厘米，答案选(C)。

　　师：非常好，本题将垂径定理直角三角形的使用价值发挥到了极致。接下来看圆周角定理。圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半。如图，若连接(OA)、(OC)，则(\angle AOC = 2\angle B)，即(\angle B = \frac{1}{2}\angle AOC)。另外，同弧或等弧所对的圆周角相等，即如图，(\angle B = \angle D = \angle E)。这里还有两个推论，推论一是直径所对的圆周角是直角。如图，由(AB)是圆(O)的直径可得(\angle ACB = 90)度。推论二是(90)度的圆周角所对的弦是直径。如图，若(\angle ACB = 90)度，则(AB)为圆(O)的直径。来看例题。

　　例(2)（(2020)镇江）：如图，(AB)是半圆的直径，(CD)是半圆上的两点，(\angle ADC = 106)度，则(\angle CAB)等于多少度？同学们思考一下如何解答。

　　生：由(AB)是半圆的直径联想到直径所对的圆周角是(90)度，所以连接(BD)成为解决问题的关键。并且(\angle CAB = \angle CDB)，求得(\angle CDB)的度数就得到(\angle CAB)的度数。具体解答过程为：连接(BD)，因为(AB)是半圆的直径，所以(\angle ADB = 90)度。那么(\angle BDC = \angle ADC - \angle ADB = 106)度(- 90)度( = 16)度，所以(\angle CAB = \angle BDC = 16)度，答案选(C)。

　　师：很好。下面是圆内接四边形定理，圆内接四边形对角互补。如图，四边形(ABCD)内接于圆(O)，则(\angle B + \angle D = 180)度，(\angle A + \angle C = 180)度。对这个定理进一步研究，我们还得到一个新结论。延长(AD)到(E)，与(DC)夹角为(\angle 2)，我们发现(\angle 1 + \angle B = 180)度，(\angle 1 + \angle 2 = 180)度，根据同角的补角相等，可得(\angle 2 = \angle B)。来看例题。