师：今天我们来学习第三章数据的集中趋势和离散程度小结与思考。先看第一个问题，有15名同学参加竞赛，他们分数互不相同，取8位同学进入决赛。小明知道自己分数后，还需知道这15名同学分数的哪个统计量，就能知道自己是否进入决赛？我们用圆圈假定15名同学，按要求取前8名进决赛。显然，小明要知道自己能否进决赛，只需与第8名同学的成绩比较。而第8名同学的成绩，实际上就是这15位同学成绩按从小到大排列后的中间位置，也就是中位数。所以小明只要知道这15名同学分数的中位数，就能知道自己是否进入决赛。这个问题复习了中位数的概念，中位数是指数据从小到大排列后，处于中间位置的数（数据个数为奇数时）或者中间两数的平均数（数据个数为偶数时），它的特点是不受个别偏大或偏小数据的影响。中位数主要用于体现数据的排位次序。

　　师：接着看问题二。一家鞋店在一段时间内销售某种女鞋30双，各种尺码鞋的销售量如下表。如果你们是经理，会关注什么，打算怎样进货？相信大部分同学看到表格，会留意到23.5码对应的销量最多。对于零售行业来说，我们更关注最受欢迎的商品。所以这个问题中，我们关注的是最受欢迎的鞋码。从表格能看出，最受欢迎的鞋码是23.5码，销量为11双。这里销量多、最受欢迎，对应统计中的众数概念。有了众数概念，对进货有帮助。既然23.5码卖得最好，就应多进23.5码的鞋，23码和24码销量其次，相应少进一些。这个问题复习了众数的概念，众数是指一组数据中出现次数最多的数。众数的特点是，对一组数据而言，众数有时不止一个，也可能没有。比如3、4、5、6、6、7、7这组数据，就有两个众数6和7；而3、4、5、6、7、8、9这组数据没有众数。

　　师：再看问题三。某市三个郊区的人数及人均耕地面积如下表。小红根据表格计算这三个郊区的人均耕地面积，( \overline{x} = \frac{0.15 + 0.21 + 0.18}{3} = 0.18)公顷。你们认为小红的算法正确吗？若不正确，说明理由并给出正确算法。我们看小红的算法，是将A、B、C三个郊区的人均耕地面积数值求和再除以3。结合表格，0.15公顷是郊区A 15万人的人均耕地面积，15万就是0.15的频数；0.21对应的频数是7万；0.18对应的频数是10万。由此可知，小红算法不对。求这三个郊区的人均耕地面积的平均数，不仅与这三个数值有关，还与它们的频数有关，频数体现了各个数据的重要程度，这就是加权平均数的概念。所以小红没考虑频数对平均数的影响。这道题应使用加权平均数方法计算，(\overline{x} = \frac{15×0.15 + 7×0.21 + 10×0.18}{15 + 7 + 10}) ，计算可得约等于0.17公顷。这里0.17是加权平均数，15、7、10是权。这个问题复习了平均数的概念，平均数反映一组数据的平均水平，分为算数平均数和加权平均数。算数平均数是将所有数据相加除以总数；加权平均数要注意看清每个数据对应的频数，将数据乘以频数后相加，再除以所有频数的和。平均数的特点是计算时每个数据都会用到，容易受个别偏大或偏小数据的影响。

　　师：下面分别计算下列各组数据的平均数、极差和方差。先看第一组数据3、4、5、6、7，相信不少同学能直接说出平均数是5。第二组数据23、24、25、26、27，平均数是25。第三组数据30、40、50、60、70，平均数是50。再看极差，第一组数据极差(7 - 3 = 4)；第二组数据极差(27 - 23 = 4)；第三组数据极差(70 - 30 = 40)。最后计算方差，请大家按下暂停键动手算一算。第一组数据代入方差公式计算等于2。第二组数据计算时会发现，每个数据与平均数的差值，如(23 - 25)与第一组数据的(3 - 5)一样，所以第二组数据方差和第一组数据方差结果相同。再看第三组数据，(30 - 50 = -20)，相比(3 - 5 = -2)，每一项多了一个0，也就是每一项多了一个10的平方，合起来每一项相加后除以5就多了100。所以第三组数据方差是第一组数据方差的100倍，即200。这道题复习了极差和方差的概念。极差是一组数据中最大值与最小值的差，反映数据的变化范围，一定程度上描述数据的离散程度。方差刻画一组数据的离散程度，方差越小，离散程度越小，数据越稳定；方差越大，离散程度越大，数据越不稳定。方差公式注意是平方形式再除以总数(n)。

　　师：在刚才问题4的基础上，看这个追问。观察上面三组数据平均数之间的关系，用算式写出猜想的结论。第一组数据平均数是5，第二组数据是25，第三组数据是50。可以发现，第二组数据是在第一组数据基础上，每一项增加了20，相应平均数也增加了20；第三组数据是第一组数据每个数据扩大10倍，相应平均数也扩大10倍。再看方差之间的联系，前面计算分析过，第一组数据和第二组数据方差相等，因为两组数据每个数据与平均数的差值相同，平方后也相同，个数一样所以方差相同。第三组数据方差与平均数不同，做差后如(30 - 50)平方多了100，每一项相加后除以5，所以第三组数据方差是第一组数据方差的100倍。这样就得到三组数据方差的关系，第一组和第二组数据方差相等，第三组数据方差是第一组数据方差的100倍。