师：今天我们学习第五章二次函数的小结与思考。请同学们仔细观察这几组值，能得到二次函数的有关特征吗？

　　生：观察发现 x 等于 0 和 x 等于 2 时，y 都等于 3。

　　师：根据二次函数图像的对称性，可知这个二次函数图像的对称轴是直线 x 等于 1，顶点坐标唯一。那这个函数图像的开口方向是怎样的呢？同学们可以画出它的草图。

　　生：（画出草图）发现开口向下。

　　师：还能得到抛物线与坐标轴的交点吗？请再次观察这几组值，坐标轴指的是 x 轴和 y 轴。

　　生：因为 x 等于 0 时 y 等于 3，所以抛物线与 y 轴的交点坐标是（0，3）。又因为 x 等于 -1 时 y 等于 0，所以与 x 轴的交点是（ -1，0）。

　　师：抛物线与 x 轴的交点仅有这一个吗？结合刚刚画的草图思考。

　　生：由二次函数图像的对称性，除了 x 等于 -1，y 等于 0，还能得到 x 等于 3 时，y 也等于 0。所以抛物线与 x 轴的交点应该有两个，即（ -1，0）和（3，0）。

　　师：如何确定这个二次函数的表达式呢？

　　生：可以利用刚刚求出来的顶点坐标（1，4）设出这个函数的顶点式 y = a(x - 1)2 + 4。又因为图像经过点（0，3），将点坐标代入到函数表达式当中，可求出 a = -1，从而得到函数表达式为 y = -(x - 1)2 + 4。

　　师：还有其他方法吗？

　　生：可以选择这几组值当中的三组，代入二次函数的一般式，得到三元一次方程组求得 a、b、c 的值。或者选择与 x 轴的两个交点坐标，设二次函数的交点式也能确定其表达式。

　　师：若只给你提供了一个二次函数的表达式，能得到什么呢？还能得到这个二次函数的相关特征吗？

　　生：由表达式当中的 a = 1 大于 0，可知这个二次函数的图像开口向上。通过配方法或代入顶点坐标公式可得到顶点坐标（5 / 2， - 9 / 4），所以它的对称轴应该为过顶点且垂直于 x 轴的一条直线，即直线 x = 5 / 2。

　　师：由二次函数的表达式，如何求函数图像与坐标轴的交点呢？

　　生：x 轴上的点纵坐标为 0，所以令 y = 0，得到一个一元二次方程，求出方程的解 x? = 1，x? = 4，所以与 x 轴的交点为（1，0）、（4，0）。y 轴上的点横坐标为 0，所以令 x = 0，求得 y = 4，所以它与 y 轴的交点坐标为（0，4）。

　　师：能说这个函数的增减性吗？同学们可以通过画图像来解决这个问题。

　　生：（画出函数大致图像）

　　师：我们一起来看这个二次函数的图像。首先确定其对称轴的位置。在对称轴的右侧，从左到右图像呈上升趋势，所以 x 大于 5 / 2 时，y 随 x 的增大而增大。在对称轴的左侧，从左到右，图像呈下降趋势，所以 x 小于 5 / 2 时，y 随 x 的增大而减小。

　　师：当 y 大于等于 0 时，如何确定 x 的取值范围呢？从图像上如何去理解 y 大于等于 0 呢？请同学们先在图上描绘出满足 y 大于等于 0 的图像。

　　生：y 大于等于 0 的图像指的是落在 x 轴上方的函数图像，包括与 x 轴的两个交点。此时观察图像可知 x 的取值范围应该是小于等于 1 或者大于等于 4。

　　师：若已知 x 的取值范围如何求 y 的取值范围呢？有的同学可能认为将 x = -1，x = 4，分别代入函数表达式，求对应的函数值，即可得到 y 的取值范围，这种做法是否可行呢？能找到 x 大于等于 -1，小于等于 4 所对应的函数图像吗？

　　生：此时对应图像是图中的红色曲线，其最高点是（ -1，10），最低点是抛物线的顶点（5 / 2， - 9 / 4）。这就说明 y 的最大值是 10，y 的最小值为 - 9 / 4。所以，当 x 大于等于 -1，小于等于 4 时，y 应该是大于等于 - 9 / 4 小于等于 10。显然前者代入计算的方法是不可取的。

　　师：如果现在将这条抛物线平移，使其顶点刚好落在坐标轴上，请写出此时对应的函数表达式。

　　生：可以将抛物线沿 y 轴的方向向上平移 9 / 4 个单位长度，使其顶点刚好落在 x 轴上。平移前后的抛物线形状及开口方向都没有改变，所以 a 仍旧等于 1，而顶点坐标发生了变化，变成了（5 / 2，0）。此时可以根据 a 的值及顶点坐标写出对应的表达式 y = (x - 5 / 2)2 。也可以将抛物线沿着 x 轴的方向左平移，使其顶点刚好落在 y 轴上，或者把顶点移到原点上，还可以继续向上平移，顶点依然满足落在坐标轴上，所以本题的答案有很多。