师：同学们，我们今天学习第五章二次函数小结与思考。屏幕中给出了二次函数(y = ax2 + bx + c)的图像，根据它的图像能确定什么？把你们知道的都写下来。能确定(a)、(b)、(c)的符号吗？

　　生：根据抛物线开口向上，可知(a > 0)。

　　师：非常好。那(b)的符号怎么确定呢？

　　生：对称轴直线(x = -\frac{b}{2a})在(y)轴右侧，又因为(a > 0)，所以(b < 0)。

　　师：很棒。那(c)的符号呢？

　　生：观察它与(y)轴交点的位置，发现它与(y)轴交于负半轴，说明(c < 0)。

　　师：没错。除此以外还能确定什么呢？

　　生：观察抛物线与(x)轴的位置关系，可知方程(ax2 + bx + c = 0)有两个不相等的实数根，即(b2 - 4ac > 0)。

　　师：很好。还有吗？

　　生：观察抛物线的升降趋势，可知随着(x)的增大，(y)先减小后增大。

　　师：对。还有其他发现吗？

　　生：观察抛物线的顶点位置，可知该函数有最小值。

　　师：非常好。根据现有条件能确定该函数的表达式吗？要想确定该函数的表达式，可能需要什么条件呢？

　　生：一般需要(3)个点。

　　师：如果给出抛物线上这样的三个点的坐标，你们能确定这个函数的表达式吗？请动笔算一算。假设(y = ax2 + bx + c)，根据条件可以得到一个关于(a)、(b)、(c)的三元一次方程组。解这个方程组即可求得(a)、(b)、(c)的值，从而得到这个函数的表达式为(y = x2 - 2x - 3)，大家算对了吗？还有其他方法可以算得这个函数的表达式吗？

　　生：分析这三个点的特性，(-1,0)和(3,0)是这个函数的图像与(x)轴的两个交点，于是可以设出交点式，再把第三个点的坐标(2,-3)代入其中，即可算得(a)的值，从而写出函数表达式。

　　师：这样算起来是不是更为简洁？大家想到了吗？如果继续分析(-1,0)和(3,0)这两个点的特性，我们还可以知道什么？

　　生：根据抛物线的对称性可以算得它的对称轴为直线(x = 1)，即(-\frac{b}{2a} = 1)。

　　师：对。让这个方程参与“战斗”，我们还可以找到其他解决问题的路径。大家可以试试看。根据前面的经验，是不是平面内的任意三点都可以确定一个二次函数的图像呢？我们先给出平面内的两个定点(-1,0)和(2,-3)，再在这个平面内任意给出第三个点，都可以确定一个二次函数的图像吗？大家可以画一画，想一想，如果第三个点的坐标为(-1,2)，可以吗？

　　生：画一画就会发现这三个点不能确定一个二次函数的图像。

　　师：这是为什么呢？

　　生：因为当(x = -1)时，(y)有两个值与之对应，不满足函数的定义。在函数的定义中，规定了对于自变量(x)每一个确定的值，(y)都有唯一的值与之对应。故而(-1,2)、(-1,0)、(2,-3)这三个点的坐标并不能满足同一个二次函数。

　　师：没错。事实上，直线(x = -1)上所有的点都不满足条件，类似的，大家还能发现什么呢？

　　生：直线(x = 2)上的所有点也不满足条件。

　　师：对。除此以外，我们另给出一个点(3,-4)，这三个点能确定一个二次函数的图像吗？大家可以画一画，也可以算一算看。

　　生：用直尺靠一靠，就会发现这三个点在同一条直线上。通过计算还可以知道这三个点都在一次函数(y = -x - 1)的图像上。

　　师：看来在同一平面内，并不是任意三点都可以确定一个二次函数的图像。三个点的问题我们就研究到这里，要想确定一个二次函数的表达式一定需要(3)个点吗？能不能减少条件，给出两个点可以吗？如果其中一个点是抛物线的顶点，你们能确定这个二次函数的表达式吗？请动笔算一算。

　　生：根据抛物线的顶点坐标为(1,-4)，可以假设(y = a(x - 1)2 - 4)。接下来只要把第三个点的坐标(2,-3)代入即可。

　　师：当然，我们也可以根据抛物线的顶点公式得到方程(-\frac{b}{2a} = 1)，(\frac{4ac - b2}{4a} = -4)。让这两个方程参与“战斗”，我们也可以算得(a)、(b)、(c)的值，只是方法过于繁琐，这里不再赘述。还有其他方法可以帮助我们确定这个二次函数的表达式吗？能不能把两个点的问题转化为(3)个点的问题，能找到第三个点吗？想想看。

　　生：我们知道抛物线上的每个点都能找到与之关于对称轴对称的另一个点。该抛物线的对称轴是直线(x = 1)，(2,-3)关于直线(x = 1)的对称点的坐标，它与(2,-3)到对称轴的距离相等，故而横坐标应为(0)，纵坐标则相等，这样即可创造出第三个点(0,-3)，进而可以借助一般式解决问题。

　　师：刚刚我们都是从函数图像出发，设法确定函数表达式。反过来呢。根据函数(y = -(x - m)2 + m2 + 1)（(m)为常数）的表达式能确定什么？我们知道随着(m)的取值的变化，该函数图像的位置会随之发生变化，那么在这个变化过程中有没有什么是不变的呢？

　　生：由于(a = -1)，故该函数图像开口向下，这是第一个不变的东西。

　　师：对。还有吗？

　　生：根据该函数表达式可以知道函数图像的顶点坐标为((m, m2 + 1))，无论(m)取何值，它的纵坐标(m2 + 1)始终大于(0)。故而该函数图像的顶点始终在(x)轴的上方，这是第二个不变的东西。

　　师：很好。当然，它的顶点可能在(y)轴左侧，在(y)轴上或者在(y)轴的右侧。但无论在(x)轴上方的什么位置，这其中又有什么不变的东西呢？

　　生：观察图像可以发现，抛物线始终与(x)轴有两个公共点，这是第三个不变的东西。

　　师：这是观察得到的结果。能不能证明呢？根据二次函数与一元二次方程之间的关系，我们首先可以将二次函数转化为一元二次方程，并整理得到(x2 - 2mx - 1 = 0)。通过计算得到(b2 - 4ac = 4m2 + 4)，恒大于(0)，从而证明结论。还有什么是不变的？观察图像，大家还有别的发现吗？

　　生：将(y = -(x - m)2 + m2 + 1)展开可以得到(y = -x2 + 2mx + 1)。我们可以发现这里的常数项(c)是一个定值，即当(x = 0)时，无论(m)取何值，(y)的值始终等于(1)。因此，该函数图像始终经过(y)轴上的定点((0,1))。

　　师：聪明的同学经过观察图像，也许早就发现了结论。这是第四个不变的东西。如果我们早早就发现了这个结论，可以根据抛物线经过(y)轴上的定点((0,1))，且开口向下画出该函数的大致图像。这样也可以解释前面所得到的结论，图像与(x)轴有两个公共点。这说明对一个二次函数的理解其实可以通过不同的角度进行观察和解释，这其中还有什么是不变的呢？通过前面的研究，我们知道该抛物线的顶点((m, m2 + 1))始终在(x)轴的上方，那么它的顶点可以在(x)轴上方的任意位置吗？大家可以给(m)取一些不同的数值，并画出所对应的图像加以感受。

　　生：该抛物线顶点的横坐标为(m)，纵坐标为(m2 + 1)，假设顶点的横坐标(x = m)，则它的纵坐标(y = m2 + 1 = x2 + 1)。就可以知道该抛物线的顶点在一个新的二次函数(y = x2 + 1)的图像上，而不是在(x)轴上方的任意位置。这是第(5)个不变的东西。

　　师：看来这个可变的数学对象(y = -(x - m)2 + 1)，其实里面藏着很多不变的结论。通过本节课的学习，大家应该可以体会到，要想实现对二次函数的深刻理解，需要我们在数（函数表达式）和形（函数图像）之间不断地进行转换、思考，用形去描述数的特性，用数去解释形所具有的特征。最后我们来看这样一道题，关于(x)的方程((x - 1)(x + 2) = p2)（(p)为常数）的根的情况是怎样的呢？如何对这个方程根的情况做出判断？

　　生：我们可以取特殊值帮助判断。不妨令(p = 0)，则方程((x - 1)(x + 2) = 0)，有两个不相等的实数根，一个根是(1)，另一个根是(-2)。

　　师：故正确选项为(c)。也可以根据根与系数的关系进行判断。原方程可转化为(x2 + x - (p2 + 2) = 0)。假设它的两个根为(x_1)、(x_2)。根据根与系数的关系可以知道(x_1 \times x_2 = -(p2 + 2))恒小于(0)，故方程有一个正根，一个负根。我们还可以换一个角度去看这个方程，如果用函数的观念去看这个方程，还可以如何理解呢？

　　生：我们假设(y = (x - 1)(x + 2))。根据图像与(x)轴相交于((1,0))、(( - 2,0))，可以在直角坐标系内画出它的大致图像。而方程((x - 1)(x + 2) = p2)的根对应的就是直线(y = p2)与抛物线(y = (x - 1)(x + 2))的交点的横坐标。

　　师：下面我们来分情况讨论一下。当(p = 0)时，直线(y = p2)，就是(x)轴。抛物线与直线(y = p2)，也就是(x)轴有两个交点。这两个交点分居在(y)轴左右两侧，两个交点的横坐标一正一负。当(p \neq 0)时，(p2)总大于(0)，即直线(y = p2)总在(x)轴上方。它与抛物线始终有两个交点，且这两个交点也分居在(y)轴左右两侧，即两个交点的横坐标一正一负。综上所述，无论(p)取何值，抛物线与直线(y = p2)总有两个交点，且这两个交点分居(y)轴左右两侧，即方程((x - 1)(x + 2) = p2)总有一个正根，一个负根。这样我们就从函数的角度结合函数的图像对这个方程根的情况做出了判断。今天的课就上到这里，同学们，再见。