师：同学们，今天我们学习的课题是第六章图形的相似小结与思考。让我们从一个熟悉的图形开始——三角形双高图。如图，在三角形ABC中，高CD、BE相交于点O，连接DE。请写出图中所有的相似三角形，该怎么思考呢？对于一个问题，无非是分析条件、分析目标。怎么分析条件呢？这是个熟悉的图形，想想它有哪些性质和相关内容。怎么分析目标呢？可以思考怎么判断几个三角形相似，图中有哪些三角形，又有哪些熟悉的相似形。分析目标相关内容是我们本章重点学习的，所以我们先来分析条件。

　　这个图形我们在不同年级都学习过。七年级时，我们用它研究过余角、补角和对顶角的角度关系。我们知道三角形三条高所在直线交于一点，若射线AO交BC于点F，那么线段AF就是三角形ABC的第三条高。而且有了双高，就可以用面积法，CD乘以AB显然等于BE乘以AC。八年级学习勾股定理时，这个图也有特别关系，比如BD2 + CD2 = BE2 + CE2，AC2 - AD2 = BC2 - BD2，这是因为图中有多个直角三角形存在公共边，像三角形ADC和三角形BDC就有公共边CD，所以才有第二个式子。到了九年级，我们还从这个图中学习过隐形的圆，能看到点B、D、E、C在一个圆上，点A、E、O、D也在一个圆上。

　　现在正式来解决这个问题，不妨从条件出发。条件是两条高，也就是两条垂线段，由垂直定义可得4个直角。这4个直角能构成很多组等角，先看这一组，角BDC = 角CEB = 90°，等角是相似的重要条件，还有什么条件能和它配合产生相似呢？看，角1 = 角2，又因为角BDC = 角CEB，所以能得到一组相似，即三角形BDO相似于三角形CEO。

　　同理，直角中角ADC = 角AEB，这里能添加等角产生相似吗？当然可以，角A是公共角，这两个条件就能产生一组相似，三角形ADC相似于三角形AEB。还有其他相似吗？看看，能看到角3吧，能发现新的相似吗？由刚才的关系容易得到角E = 角A，再配合角3这个公共角，就能得到三角形BDO相似于三角形BEA。同理，对称地看，在右边也能得到一组相似，三角形CEO相似于三角形CDA。

　　现在已经得到四组相似了，是不是写完了呢？我们可以再观察观察，不妨把出现的几个三角形用同样颜色表示出来，比如三角形BDO出现了两次，三角形CEO也出现了两次，三角形BEA、三角形AEB是同一个三角形，三角形ADC也就是三角形CDA也出现了两次。这四组就涉及到四个三角形，会不会有其他组合呢？想想看。其实是有的，排一下颜色就能看到其他可能，比如由于角3 = 角4，且角BDC = 角ADC，这组直角相等是新的组合，由这两组条件能得到相似，即三角形BDO相似于三角形CDA。同理，角3 = 角4，且角CEB = 角AEB，也能得到一组相似，三角形CEO相似于三角形BEA。到目前为止，4个三角形两两相似，最多有6个组合，我们已经把6组相似全部写出来了，而且它们是两两相似的。

　　这6组相似写完了吗？再想想，如果想不到，可以看看这两幅图，有什么新看法和猜想吗？从这两个角度看双高图，能猜想三角形AED和三角形ABC好像相似，三角形DOE和三角形BOC也好像相似，能证明它们吗？如果遇到困难，想想刚才得到相似都是从角度关系得出的，其实还有比例这个武器没用。

　　我们已知三角形ADC相似于三角形AEB，和三角形AED、三角形ABC做联系，就能得到比例式AD : AE = AC : AB，根据比例性质交换内项，AD : AC = AE : AB，发现这组关系式和下面相似的关系了吗？这个比例式就是两边成比例，再加上角A = 角A这个夹角相等，就能证明三角形AED相似于三角形ABC，这就是用比例推导相似。类似地，右边那组相似也能这样证明。

　　书写时，由一个比例式能直接得到，因为横着看比例式代表一组相似，竖着看又能得到另一组相似。比如三角形BDO相似于三角形CEO，竖着看比例式就得到三角形BOC相似于三角形DOE。这样我们就得到了所有相似，总共8组。