师：同学们大家好，今天这节课我们来学习10.1分式。首先看一组实际问题。有一块长方形木板，面积是10平方米，宽是3米，那么这块长方形木板的长可以用分数$\frac{10}{3}$米来表示。如果面积不变，把宽改为a米，此时长方形木板的长就可以表示为面积10除以宽a，即$\frac{10}{a}$米。要是面积变为b平方米，宽为a米，长就可仿照上面，用面积除以宽，表示为$\frac{b}{a}$米。

　　第二个问题，如果面积为3公顷、4公顷的两块棉田分别产棉花3000千克、5000千克，要求这两块棉田平均每公顷产棉花多少千克？根据题意，用总产量除以总面积，即$(3000 + 5000)÷(3 + 4)$，可得到$\frac{8000}{7}$千克。如果把这里具体的数字用字母表述，面积为a公顷、b公顷的两块棉田分别产棉花m千克和n千克，那么这两块棉田平均每公顷产棉花的千克数，就可以仿照上面，用总千克数除以总面积，表示为$\frac{m + n}{a + b}$千克。

　　在这几个式子中，$\frac{10}{3}$、$\frac{8000}{7}$这两个代数式是我们熟悉的分数。还有$\frac{10}{a}$、$\frac{b}{a}$、$\frac{m + n}{a + b}$这三个代数式，大家观察一下，它们跟分数有什么区别？它们之间又有哪些共同特点呢？

　　我们先从整体看这三个代数式，它们都能写成$\frac{a}{b}$的形式。再从分子和分母角度看，这三个代数式的分子和分母都是整式，而且分母中都含有字母。像这样的式子我们叫它分式。所以分式的定义是：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么代数式$\frac{A}{B}$就叫做分式。其中A是分式的分子，B是分式的分母。从定义来看，判断一个代数式是否是分式，要从两方面入手：一是形式，具有$\frac{a}{b}$的形式；二是两个条件，A、B都表示整式，且分母B中含有字母。

　　接下来看看同学们对分式定义掌握得怎么样。老师在黑板上呈现了一些代数式，请同学们帮忙分类，找出哪些是分式，哪些是整式。

　　先看第一个$\frac{1}{x}$，它具备$\frac{a}{b}$的形式，分子分母都是整式，分母中含有字母x，满足分式定义，所以这个代数式是分式。

　　第二个$\frac{x}{3}$，具有$\frac{a}{b}$的形式，但分母是数字3，是常数，不含字母，对照定义，它是整式。

　　第三个，同样具有$\frac{a}{b}$的形式，分母中含有字母，所以这个代数式属于分式。

　　第四个代数式，虽然具有$\frac{a}{b}$的形式，但分母是常数3，不含字母，所以它是整式。

　　$\frac{x}{x^{2} - y^{2}}$，具备$\frac{a}{b}$的形式，分母中含有字母，是分式。

　　$\frac{m - m}{m + m}$，满足分式条件，是分式。

　　$y + 2x$这个式子，不具备$\frac{a}{b}$的形式，所以是整式。

　　最后一个$\frac{x}{\pi}$，具备$\frac{a}{b}$的形式，同学们想一想，$\pi$是字母吗？$\pi$是一个常数，所以根据定义，它是整式。

　　相信同学们对分式的概念已经有了更深入的理解，那么分式和我们前面学的分数之间，有怎样的区别和联系呢？从刚才的实际情境可知，从分数到分式是一个从特殊到一般、从具体到抽象的过程。在某种程度上，分数与分式联系密切，所以在研究分式时，可以类比之前学习分数的方法和思想，来研究分式的相关性质及运算，这也是我们后续课程要深入学习的内容。

　　在整式学习中，把具体数值代入整式能得到不同的值。比如当a = 3时，整式a + 1的值为3 + 1 = 4；当a = $\frac{1}{2}$时，整式a + 1的值就变成了$\frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$。对于分式，把具体数值代入分式，替换其中的字母，按照分式规定的运算计算，也能得到不同的分式值。老师把a = 3代入分式$\frac{a + 1}{a - 1}$，分母为3 - 1 = 2，分子为3 + 1 = 4，所以值为4÷2 = 2。同学们也可以选一些其他的值，代入这个分式求取值。

　　这里所有数都能代入这个分式吗？比如选$\frac{1}{2}$代入分式能得到一个值，把 - 3代入又能得到另一个值。同学们思考一下，是不是所有实数都能代入分式呢？在前面分数学习中，我们知道分数分母不能为0，那么对于分式，是不是也要考虑分母不为0呢？所以在求这个分式的值时，要回避a = 1这种情况，也就是选喜欢的数代入分式求值时，a只要不等于1就行。