师：同学们，上节课我们在小学所学分数的基础上认识了分式。分数从特殊到一般、从具体到抽象，就形成了我们新认识的分式。所以，对于分式的研究，我们可以类比分数展开。先来回顾一下，小学里我们是如何研究分数的？我们在知道分数定义后，进而研究了分数的基本性质。利用分数的基本性质，我们能进行分数的约分、通分，从而进行相关运算。前面研究整式时，也是按照先研究定义，再研究相关运算的流程，有加减运算、乘法运算。现在我们知晓了分式的定义，基于此又可以展开哪些研究呢？先看这样一组问题，下列式子成立吗？判断依据是什么？

　　第一个式子，显然分子和分母都乘以了(2)，(\frac{1}{2})得到(\frac{2}{4})，这个式子成立。第二个式子，分子和分母同时除以它们的最大公约数(5)，得到(\frac{2}{3})，第二个式子也成立。

　　我想同学们不难说出判断依据，那就是分数的基本性质：对于一个分数，它的分子与分母都乘或者除以同一个不等于(0)的数，分数的值不变。通过这个类比，大家会联想到什么问题呢？我们根据分数的基本性质来类比，联想分式是否也具有相同的性质。我们从具体实际问题出发，有一列匀速行驶的火车，(t)小时行驶了(s)千米，(rt)小时行驶(rs)千米，(3t)小时行驶的路程为(3s)千米，(nt)小时行驶了(ns)千米。

　　那么火车的速度就可以用(\frac{s}{t})、(\frac{2s}{2t})、(\frac{3s}{3t})以及(\frac{ns}{nt})来表示。请同学们观察这些分式，它们的值相等吗？由于这是一列匀速行驶的列车，显然这些分式的值是相等的，那么我们就可以得到如下式子。观察这个等式，其中每一个分式在数值上都相等，如果把这个式子倒过来写，等式也成立。

　　先看上面这个等式，(\frac{s}{t})到(\frac{2s}{2t})，分子分母同乘了(2)；(\frac{3s}{3t})，分子分母同乘了(3)；到(\frac{ns}{nt})，分子分母同乘了(n)。把式子倒过来看，(\frac{ns}{nt})到(\frac{s}{t})是分子分母同除以了(n)；(\frac{3s}{3t})到(\frac{s}{t})，同除了(3)；同样，(\frac{2s}{2t})等于(\frac{s}{t})，是分子分母同除了(2)。

　　再来看第二个实际例子。这是我们的数学教科书，假设这本书的面积是(s)，宽是(a)，那么根据这两个已知量可表示出这本书的长为(\frac{s}{a})。如果再增加一本教科书，此刻面积变成(2s)，宽之和为(2a)。继续增加三本，面积分别是(3s)，宽之和为(3a)。继续增加，如果为(k)本，面积就是(ks)，宽之和为(ka)。如果是(m + n)本，面积则为((m + n)s)，宽之和为((m + n)a)。

　　如果要表示它的另一边，即长，分别是(\frac{s}{a})、(\frac{2s}{2a})、(\frac{3s}{3a})、(\frac{ks}{ka})以及(\frac{(m + n)s}{(m + n)a})。在这个问题中，长始终保持不变，所以上述得到的这些分式的值都相等。现在继续观察这些式子的变化情况。

　　从左往右看，第一个分子和分母同乘以了(2)，第二个分子和分母同乘以了(3)。第三个，在原来(\frac{s}{a})的基础上，分子、分母同乘以了(k)。第四个，在原来(\frac{s}{a})的基础上同乘以了多项式(m + n)。所以，类比分数的基本性质，显然分式也具有相同的性质：分式的分子和分母都乘或者除以同一个不等于(0)的整式，这个整式可以是数字、多项式、单项式，分式的值不变。用式子表示就是(\frac{a}{b}=\frac{a×c}{b×c})，(\frac{a}{b}=\frac{a÷c}{b÷c})，这里(c)是一个不等于(0)的整式。

　　接下来看具体例题，下列等式的右边是怎样从左边得到的？第一个式子，(\frac{b}{a}=\frac{ab}{a^{2}})。请同学们仔细观察分子和分母做了怎样的变化。对于分母，(a)变为(a^{2})，是乘以了(a)；分子(b)变为(ab)，也是乘以了(a)。第二个式子，(\frac{a^{3}}{ab}=\frac{a^{2}}{b})。同样观察分子、分母的变化，这里分母除以了(a)，分子也除以了(a)，即分子、分母都除以了(a)。做此类题目时，要注意隐含条件，(\frac{b}{a})是分式，隐含条件就是分母不为(0)，即(a≠0)。

　　对于(\frac{a^{3}}{ab})，分子分母同除以(a)，因为(a)、(b)为分母，所以(a)和(b)都不为(0)。整理一下，因为(a≠0)，所以将(\frac{b}{a})的分子和分母都乘以一个不为(0)的(a)，得到右边的分式。

　　第二个式子，由于(a≠0)，分子分母同除以一个不为(0)的(a)，可以得到(\frac{a^{2}}{b})。同学们一起小结一下，分式的变形本质就是利用分式的基本性质，保证分式的值始终不变。接下来看例(2)。不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含有负号。