师：今天这节课我们继续学习分式的基本性质。之前的课上，我们类比分数的基本性质得出了分式的基本性质，那分数和分式的基本性质有什么异同呢？分数的基本性质是，分数的分子、分母同时乘或除以一个不为0的数，分数的值不变。分式的基本性质是，分式的分子、分母同时乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。分数的基本性质研究的是特殊的数，而分式的基本性质研究的是一般的式，所以分式的基本性质更具一般性和普遍性。我们研究数和式，一般从概念出发，研究性质，再依据性质进行相关运算。前面的课，我们根据分式的基本性质研究了分式的约分，为后期分式的乘除运算奠定了基础。

　　今天这节课，我们从分式的基本性质出发，为后期分式的加减运算做知识储备。来看这样的运算：(\frac{3}{4x} + \frac{1}{6x^2})，(\frac{3}{10a^3} - \frac{2}{15a^2b})。显然，这是两个分式的加减运算。若把这两个分式分母中的字母去掉，就得到两个分数的加减运算。同学们思考一下，对于异分母分数的加减运算，我们是怎么做的呢？根据运算需要，要将异分母分数转化为同分母分数，这是依据分数的基本性质来转化分母。同样，对于分式也可以这样转化。我们依据分数的基本性质，把几个异分母的分数变形成同分母的分数，这叫做分数的通分。类比可得，依据分式的基本性质，把几个异分母的分式变形成为同分母的分式，叫做分式的通分。

　　我们具体看这两个问题。先看(\frac{3}{4})、(\frac{1}{6})，要转化成同分母分数，先确定4和6的最小公倍数是12。分母4变成12需乘以3，根据分数基本性质，分子也乘以3，所以(\frac{3}{4})分子分母同乘以3就变成(\frac{9}{12})。对于(\frac{1}{6})，要将分母6变成12需乘以2，分子也同时乘以2，(\frac{1}{6})就变成(\frac{2}{12})。

　　再看旁边这两个分式通分，怎么把它们的分母转化成同分母呢？先看系数4和6，和前面一样可统一成12。再看字母(x)和(x^2)，把前面的(x)再乘以一个(x)，就能统一成(x^2)。所以对于(\frac{3}{4x})这个分式，分子分母同乘以(3x)得到(\frac{9x}{12x^2})。第二个分式(\frac{1}{6x^2})，先把系数转化成12需乘以2，字母(x^2)无需转化，分子分母同时乘以2，转化成(\frac{2}{12x^2})。此时这两个分式分母都统一成了(12x^2)。同学们想一想，如果第一个分式分子分母同乘以(3x^2)，会得到(\frac{9x^2}{12x^3})。将第二个分式(\frac{1}{6x^2})分子分母同乘以(2x)，得到(\frac{2x}{12x^3})。看这两个结果，分母都统一成了(12x^3)，但与前面的运算相比，分子分母形式更复杂，不够简洁。所以我们要寻找最简公分母，这里的最简公分母是(12x^2)。怎么确定最简公分母呢？几个分式中各分母系数的最小公倍数与所有字母的最高次幂的积，叫做这几个分式的最简公分母。(4x)、(6x^2)，它们的最简公分母是(12x^2)，12是4和6的最小公倍数，字母(x)取了最高次幂。

　　我们再看这个问题。(\frac{3}{10})和(\frac{2}{15})要转化成同分母，10和15的最小公倍数是30。分母10变成30需乘以3，所以(\frac{3}{10})分子分母都乘以3得到(\frac{9}{30})。(\frac{2}{15})的分母变成30需乘以2，分子分母同乘以2，得到(\frac{4}{30})。对于旁边的两个分式，第一步先确定这两个分母的最简公分母。看系数10和15，最小公倍数是30。再看字母，取最高次幂(a)的三次方，(a)的平方取(a)的三次方。第一个分母不含(b)，第二个分母含(b)，最高次幂是(b)。所以(10a^3)、(15a^2b)，它们的最简公分母是(30a^3b)。对于第一个分式(\frac{3}{10a^3})，要转化成(30a^3b)需乘以(3b)，所以分子分母都乘以(3b)得到(\frac{9b}{30a^3b})。第二个分式(\frac{2}{15a^2b})，要转化成分母(30a^3b)必须乘以(2a)，分子分母都乘以(2a)，得到(\frac{4a}{30a^3b})，这样就将两个异分母分式转化成了同分母分式。来看具体例题。

　　请将下列两个分式通分。第一步，确定这两个分母的最简公分母(3a)和(2c)，先看系数3和2，取最小公倍数6，字母取最高次幂(a)和(c)，所以最简公分母是(6ac)。对于分式(\frac{b}{3a})，要将分母化成(6ac)需乘以(2c)，所以分子分母同乘以(2c)，最后结果为(\frac{2bc}{6ac})。第二个分式分母(2c)要变成(6ac)需乘以(3a)，根据分式基本性质，分子分母同时乘以(3a)，最后结果为(-\frac{3a^2b}{6ac})。

　　第二个问题，和第一个有什么区别呢？第二个分母是多项式，第一个分母是单项式，这里该怎么处理呢？不妨将(a - b)和(a + b)整体看成一个字母。那么(a - b)，(a + b)，它们的最简公分母就是((a - b)(a + b))。要将这两个分式分母统一成((a - b)(a + b))。先看第一个分式，分母需乘以(a + b)，根据分式基本性质，分子也乘以(a + b)，所以第一个分式通分成(\frac{2a(a + b)}{(a - b)(a + b)})。

　　再看第二个分式，分母要乘以(a - b)，分子也同时乘以(a - b)，所以(\frac{3b}{a + b} = \frac{3b(a - b)}{(a + b)(a - b)})。从例一可知，通分的关键是确定最简公分母。最简公分母怎么确定呢？先看系数，再看字母，系数取各项系数的最小公倍数，字母取各个字母的最高幂。来看例2，观察例2的分母，发现都是多项式，怎么准确找出分母含有的因式呢？如果分母是多项式且能分解因式，不妨先分解因式，这样便于清晰看出各个因式，准确寻找最简公分母。先看第一个问题。第一个分式(\frac{m^2 - 1}{9})，分母(m^2 - 9)根据平方差公式可分解成((m + 3)(m - 3))。第二个分式分母(2m + 6)，提公因式分解成(2(m + 3))。这时找最简公分母，第一个分母系数是1，第二个分母系数是2，最小公倍数是2，(m + 3)两个分母都有，(m - 3)只有第一个分母有，取最高次还是(m - 3)，所以最简公分母是(2(m + 3)(m - 3))。