师：同学们大家好，今天老师带领大家一起学习分式方程。首先，我们来探讨问题。我们知道实际问题中的相等关系，可以用数学问题中的方程模型来描述。接下来老师给大家几个问题。

　　第一个问题，甲乙两人加工同一件服装，乙每天比甲多加工一件，乙加工服装 24 件所用的时间与甲加工服装 20 件所用的时间相同，怎样用方程来描述其中数量之间的相等关系呢？解决这个问题，我们先找出其中的相等关系。我们可以发现，乙加工 24 件所用的时间等于甲加工 20 件所用的时间。那么，这样的相等关系我们如何用方程表示呢？这就需要我们来分析其中的数量关系。大家会发现这里的数量关系涉及到两个对象和三个相关量的关系。这种情况下，我们采用列表分析的方法，如图，两个对象是甲和乙，三个相关的量是工作总量、工作效率、工作时间。我们先填已知量，甲的工作总量是 20 件，乙的工作总量是 24 件。由于我们最后要表示的是工作时间，所以我们在这里可以设甲每天加工 x 件，也就是甲的工作效率是 x 件/天。于是根据题目中的条件，乙的工作效率就是（x + 1）件/天。这时两人的工作时间分别可以表示为$\frac{20}{x}$以及$\frac{24}{x + 1}$。那么我们用代数式将相等关系中的数量关系表示出来以后，就得到了这样一个方程：$\frac{20}{x} = \frac{24}{x + 1}$。

　　对于这个问题，可能还有同学说：“老师，我找到的等量关系和你不一样，我找到的等量关系是乙每天的件数等于甲每天的件数加一。”那么这个相等关系我们可以用怎样的方程来描述呢？同样的，我们列表分析其中的数量关系。先将已知量填入，然后我们来看相等关系中最终要表示的是件数。这时候我们不妨设工作时间，每天的件数我们就可以用时间来表示。由于乙加工服装 24 件所用的时间与甲加工服装 20 件所用的时间相同，我们将这个时间都设为 y，这时候甲的工作效率就是$\frac{20}{y}$，乙的工作效率就是$\frac{24}{y}$。根据相等关系中描述的乙每天的件数等于甲每天的件数加一，用代数式表示乙每天的件数与甲每天的件数，就可得方程：$\frac{20}{y} + 1 = \frac{24}{y}$。

　　第二个问题，一个两位数的个位数字是 4，如果把个位数字与十位数字对调，那么所得的两位数与原两位数的比值是 7 : 4。怎样用方程来描述其中数量之间的相等关系呢？首先我们找出题目中的相等关系是改变后的两位数与原两位数的比值等于 7 : 4。那么这样的等量关系用怎样的方程来描述呢？同样我们需要对这里的数量进行分析。对于数位问题，我们常常用数位填空分析的方法。原两位数和改变后的两位数，我们先设这个两位数的十位数字是 x。于是原两位数十位数字是 x，个位数字是 4；改变后的两位数十位数字是 4，个位数字是 x。于是原两位数本身是 10x + 4，而改变后的两位数就是 4×10 + x。我们将相等关系中的量用代数式表示，就能够得到如下方程：$\frac{4×10 + x}{10x + 4} = \frac{7}{4}$。

　　第三个问题，某校学生到离学校 15 千米处植树，部分学生骑自行车出发，40 分钟后，其余学生乘汽车出发，汽车的速度是自行车速度的 3 倍，全体学生同时到达，怎样用方程来描述其中数量之间的相等关系呢？同样，我们先找出这个实际问题中的相等关系。这里提到全体学生同时到达，而学生骑自行车又是提前出发 40 分钟，所以我们的相等关系是自行车的行驶时间减去汽车的行驶时间等于$\frac{40}{60}$小时。

　　这里老师解释一下为什么用小时作为单位，因为我们前面提到的距离单位是千米，而平时我们的速度单位一般表示成千米/小时，很少表示成千米/分钟。基于此考虑，所以这里我们用小时来作为时间单位。那么这样的一个相等关系用怎样的方程来描述呢？这是一个行程问题，老师建议大家用线段示意图分析的方法来分析数量关系。先表示出学校和植树点之间的距离是 15 千米，既然我们最终相等关系中涉及到的是时间，我们不妨设自行车的速度是 x 千米/小时，于是汽车的速度就应该是 3x 千米/小时。所以汽车由学校到植树点的行驶时间是 15÷3x 小时，也就是$\frac{15}{3x}$小时；自行车的行驶时间就是$\frac{15}{x}$小时。所以由此我们可得方程：$\frac{15}{x} - \frac{15}{3x} = \frac{40}{60}$。

　　同学们，和老师一起经历了实际问题中的相等关系，并用如下方程来描述。那么这样的方程是什么方程？又应该如何解呢？带着这样的问题，我们进入今天的新知探索。好，大家来看这些就是我们今天得到的方程，它们有一个共同的特征，相信大家都能够看到它们都只有一个未知数，也就是一元。那么大家回忆一下，我们以前学过一元的方程吗？对，我们以前学过一元一次方程，老师给大家举一些例子。那么一元一次方程它有什么特征呢？大家回忆一下。