师：同学们，今天我们继续研究分式方程。先复习回顾一下，上一节课我们学习了解分式方程，指导思想是将分式方程左右两边同时乘以最简公分母，去分母转化成整式方程来解决。基于这个思想，我们来解这个方程：(\frac{1}{x + 2} + \frac{x}{x - 1} = \frac{2}{x - 1} + 1) 。首先确定这个分式方程的最简公分母是((x + 2)(x - 1)) ，于是方程两边同乘((x + 2)(x - 1))，得到(x(x - 1) = 2(x + 2) + (x + 2)(x - 1)) 。整理这个方程可得：(x^2 - x = 2x + 4 + x^2 + x - 2)，解得(x = -\frac{1}{2}) 。将(x = -\frac{1}{2})代入原方程检验，左边等于(-\frac{1}{3}) ，右边也等于(-\frac{1}{3}) ，左边等于右边，所以(x = -\frac{1}{2})是原方程的解。

　　再看这个方程(\frac{2}{x - 3} - \frac{x}{3 - x} = \frac{1}{3 - x} - 2) 。观察发现最简公分母是(x - 3) ，方程两边同乘(x - 3) ，得到(2 - x = -1 - 2(x - 3)) 。同学们要注意，等号右边第一项分母是(3 - x) ，与(x - 3)差一个符号，所以分子要变成(-1) ，后面的(-2)也不要忘了乘以最简公分母。解这个简单的一元一次方程，可得(x = 3) 。把(x = 3)代入原方程，会发现作为分母的(x - 3)和(3 - x)都等于(0) ，此时分式方程中涉及的两个分式都没有意义，这是为什么呢？接下来该怎么办呢？带着这些问题，我们进入今天的新知探索。

　　我们一共就做了三步就做不下去了，问题肯定出在这三步的某一步当中。解一元一次方程这一步我们再三反复算，没有解错，那么问题只可能出现在第一步。事实上，当(x = 3)时，方程两边同乘了值为(0)的代数式，所以导致了问题产生。具体来说，本题中(x = 3)使所乘的最简公分母(x - 3 = 0) ，故(x = 3)不是原方程的根，此时原方程无解。像这样的根叫做原分式方程的增根。由于解分式方程可能产生增根，因此解分式方程必须对解得的根进行检验。

　　那么如何检验呢？既然问题出在这个根使得最简公分母为(0) ，所以我们将解得的未知数的值代入最简公分母进行检验。如本题，我们可以这样书写：解得(x = 3) 。检验：当(x = 3)时，(x - 3 = 0) ，(x = 3)是增根，所以原方程无解。

　　下面看例题讲解，请同学们动手解下列两个方程。

　　第一题，解分式方程的指导思想不变，第一步还是方程两边同乘以最简公分母。第一题的最简公分母是(x(x + 1)) ，得到(30(x + 1) = 20x) 。解这个简单的一元一次方程可得(x = -3) 。接下来检验，将(x = -3)代入最简公分母(x(x + 1)) ，结果是(6) ，它不等于(0) ，那么我们可以下结论，(x = -3)是原方程的解。

　　第二题，分母涉及多项式，能因式分解的要先因式分解，再来找最简公分母。这里(x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)) ，所以最简公分母是((x - 2)(x + 2)) 。方程两边同乘最简公分母，原分式方程转化成((x - 2)^2 - (x + 2)^2 = 16) 。化简这个方程可得(x = -2) 。接下来检验，将(x = -2)代入最简公分母，当(x = -2)时，((x - 2)(x + 2) = 0) ，那么(x = -2)就是增根，原方程无解。

　　根据这两个题目，我们来梳理一下解分式方程的一般步骤：第一步，分式方程左右两边同乘以其最简公分母，将它转化成整式方程；第二步，解这个整式方程得到结果，比如(x = a) ；第三步，将(x = a)代入最简公分母进行检验，如果最简公分母不等于(0) ，那么(x = a)就是原方程的解，如果最简公分母等于(0) ，那么(x = a)就是增根，原分式方程此时无解。

　　例2，第一小题：是否存在(x)的值，使得代数式(\frac{2}{x + 2})与(\frac{3}{x - 2})的值相等？若存在，请求出(x)的值；若不存在，请说明理由。一般对于这样存在性的问题，我们可以假设两个代数式的值相等，然后进行推论。解：令(\frac{2}{x + 2} = \frac{3}{x - 2}) 。我们来解这个分式方程，如果有解，那就存在(x)的值，使得这两个代数式的值相等；如果这个分式方程无解，那么就不存在(x)的值，使得这两个代数式的值相等。方程两边同乘以((x + 2)(x - 2)) ，得到(2(x - 2) = 3(x + 2)) ，解得(x = -10) 。检验：当(x = -10)时，((x + 2)(x - 2) \neq 0) ，所以(x = -10)是原方程的解，所以这个实际问题存在(x)的值，也就是当(x = -10)时，这两个代数式的值相等。