师：同学们，今天我们一起来讨论 10.5 分式方程的复习回顾。之前的学习中，我们知道实际问题里的相等关系能抽象成数学中的分式方程，也学会了解分式方程。今天就探讨如何用解分式方程解决实际问题。

　　首先看例题。例一，某校为迎接市中学生田径运动会，计划由八年级一班的三个小组制作 240 面彩旗。因一个小组另有任务，其余两个小组的每名学生要比原计划多做 4 面彩旗才能完成任务，且这三个小组人数相等。问每个小组有学生多少名？

　　这里有两个等量关系，一是每名学生比原计划多做 4 面彩旗；二是三个小组人数相等。我们可以选其中一个来列方程。比如选“现每名学生比原计划多做 4 面彩旗”这个等量关系，也就是实际每名学生完成的彩旗数减去计划每名学生完成的彩旗数等于 4。

　　要把这个等量关系用方程表示，需设恰当未知数。已知彩旗总数，要表示每名学生完成的彩旗数，不妨设每小组有学生(x)名。原计划是 3 个小组，那么原计划每名学生完成的彩旗数是(\frac{240}{3x})；实际是两个小组完成，所以实际每名学生完成的彩旗数是(\frac{240}{2x})。

　　根据题意可得方程：(\frac{240}{2x} - \frac{240}{3x} = 4)。解这个分式方程可得(x = 10)。分式方程要检验，经检验，(x = 10)是所列方程的解，而(x)就是我们所求的每个小组的学生数，所以可以答：每个小组有学生 10 名。

　　当然，也能利用“三个小组人数相等”这个等量关系来列方程，即计划每小组的人数和实际每小组的人数相等。因为计划做的彩旗数已知，要表示每小组人数，需知道每名学生做的彩旗数。基于此，我们设原计划每人平均做(y)面彩旗，则实际每人平均做(y + 4)面彩旗。

　　原计划每小组的人数可表示为(\frac{240}{3y})，实际每小组的人数是(\frac{240}{2(y + 4)})。根据题意可得方程：(\frac{240}{3y} = \frac{240}{2(y + 4)})。解这个分式方程可得(y = 8)。同样要检验，(y = 8)是所列方程的解。但(y)表示原计划每人平均做的彩旗数，要求每个小组的学生人数，还需进一步计算。(\frac{240}{3y} = 10)（把(y = 8)代入左边式子，也可代入右边式子，结果相同），所以每小组有学生 10 名，最后作答。

　　通过这个例题，我们总结列分式方程解决实际问题的一般步骤：首先审清题意，找出题目中的相等关系；接着设恰当的未知数，用代数式表示相等关系中的相关量；然后建立方程；再对方程求解、检验并解释。同学们掌握了吗？

　　接下来看例二。甲、乙两公司为见义勇为基金会各捐款 3 万元，已知甲公司的人数比乙公司的人数多(20%)，乙公司比甲公司人均多捐 20 元。问甲、乙两公司各有多少人？

　　先找实际问题中的相等关系，一是甲公司的人数比乙公司的人数多(20%)；二是乙公司比甲公司人均多捐 20 元。如果选“乙人均捐款数 - 甲人均捐款数 = 20”这个相等关系来列方程，因为涉及捐款总数、人数和人均捐款数这三个量的关系，我们采用列表分析的方法。

　　列表如下，甲乙两个公司，涉及捐款额、员工人数以及人均捐款数。已知捐款额都是 3 万元。因为选的这个相等关系要表示人均捐款数，且总数已知，所以设乙公司有(x)人，根据第一个相等关系，甲公司人数是((1 + 20%)x)。那么甲乙两公司人均捐款额分别是(\frac{30000}{x})和(\frac{30000}{(1 + 20%)x})。

　　基于此，解设乙公司有(x)人，则甲公司是((1 + 20%)x)人，根据题意可得方程：(\frac{30000}{x} - \frac{30000}{(1 + 20%)x} = 20)。解这个分式方程可得(x = 250)。同样要检验，并且因为还要求甲公司人数，((1 + 20%)x = 300)。最后作答：甲公司有 300 人，乙公司有 250 人。

　　有同学问，能不能选“甲公司人数比乙公司人数多(20%)”这个相等关系来列方程呢？当然可以。这个相等关系可写成：甲的人数 = ((1 + 20%)×乙的人数。同样用列表分析，表格中已知捐款总数各是 3 万元。要表示人数，所以设甲人均捐款(y)元，那么乙人均捐款就是(y + 20)元。此时人数等于捐款额除以人均捐款数，所以甲是(\frac{30000}{y})人，乙是(\frac{30000}{y + 20})人。