师：同学们好，上一节课我们研究了三角形的中位线，连接三角形两边中点的线段就是三角形的中位线。我们还知道三角形中位线的性质定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。这个定理刻画了两方面含义，一是位置关系，即三角形的中位线平行于第三边；二是数量关系，也就是中位线等于第三边的一半。同时，我们学习了使用三角形中位线定理时的几何语言。

　　学完三角形中位线后，小明做了个探究。他连接三角形ABC各边中点D、E、F，得到三角形DEF，发现三角形DEF与三角形ABC的周长、面积存在确定的数量关系。同学们想一想，观察图形，结合条件，大胆猜一猜。周长有什么关系呢？

　　生：三角形DEF的周长是三角形ABC周长的一半。

　　师：那三角形DEF的面积呢？

　　生：三角形DEF的面积是三角形ABC面积的1/4。

　　师：大家猜对了。那能证明这个结论吗？想一想，三角形DEF的周长由三条线段构成，这三条线段是什么呢？

　　生：中位线。

　　师：中位线有什么性质？

　　生：DF是BC的一半，DE是AC的一半，EF是AB的一半。

　　师：加起来不就是三角形ABC周长的一半吗？那面积怎么证呢？图中的三条中位线将三角形ABC分成了四个三角形，这四个三角形有什么关系呢？来看看证明过程。

　　因为D、E、F分别是三角形三边的中点，所以有三条中位线。根据中位线定理，DE等于1/2AC，DF等于1/2BC，EF等于1/2AB，这是数量关系；位置关系上，它们分别与这三条边平行。接下来求周长，三角形DEF的周长是这三条线段的和，即等于1/2（AC + BC + AB），而AC + BC + AB就是三角形ABC的周长，这样就得到了周长的结论。

　　论面积，因为DF平行BC，EF平行AB，所以可以推出图中有三个平行四边形：ADEF、BDFE、CEFD。以平行四边形ADEF为例，三角形DEF将其分成了两个全等的三角形，即三角形ADE和三角形DEF面积相等。同理，三角形DEF与三角形BDE、三角形CEF面积也相等，也就是说这四个小三角形面积相等，那么三角形DEF的面积就是总面积的1/4。周长是根据中位线的数量关系推出来的，面积是根据中位线与第三边的位置关系，得到平行四边形，进而得到三角形面积相等，得出1/4的关系。这道题充分应用了三角形中位线定理，小明很爱钻研。

　　小明研究完三角形后，把目光转向四边形。他顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH。这个四边形有什么特殊性质呢？同学们想一想、猜一猜。

　　生：这个四边形是平行四边形。

　　师：小明也这么猜，但不太放心，又任意画了两个四边形，顺次连接各边中点，发现新得到的四边形也像平行四边形。数学光靠看、猜、想，不一定能保证结论正确，需要证明。怎么证明这样得到的四边形是平行四边形呢？要证一个四边形是平行四边形，有哪些方法？

　　生：两组对边分别平行，两组对边分别相等，一组对边平行且相等。

　　师：怎么刻画这个四边形对边之间的数量关系或位置关系呢？题目中有很多中点，怎么用？

　　生：想到三角形的中位线。

　　师：谁是谁的中位线呢？需要做什么？

　　生：连接BD。

　　师：对，连接BD后，题目中就有了三角形的中位线。看看图，谁是谁的中位线线段？

　　生：EH是三角形ABD的中位线，FG是三角形CBD的中位线。

　　师：它们有什么性质？

　　生：EH和BD平行且等于BD的一半，FG也平行BD且等于BD的一半。

　　师：证明四边形EFGH是平行四边形的条件够了吗？来看看书写过程和老师提供的是否一致。连接BD，因为E、H是AB、AD的中点，所以EH为三角形ABD的中位线。有了中位线就能得到数量关系和位置关系。同理，在三角形CBD中也有这样的结论。我们发现，EH、FG都等于1/2BD，EH和FG都平行BD，于是可以得到EH = FG，EH平行于FG，所以四边形EFGH是平行四边形，这是用一组对边平行且相等得到的。

　　刚才说证明四边形是平行四边形有三种方法，这里用了一组对边平行且相等。同学们想一想，可不可以用两组对边分别平行得到平行四边形？要怎么做？

　　生：要再连一条辅助线。

　　师：能不能用两组对边分别相等呢？

　　生：也要再连一条辅助线，把AC连起来。

　　师：这里我们选择连一条辅助线。小明探究完这个结论后发现，只要是四边形，连接各边中点得到的图形就是平行四边形，这很有意义，因为四边形具有一般性，而得到的四边形有特殊性质。