师：同学们，本节课我们将学习第十二章，首先来学习二次根式（一）。同学们回忆一下，还记得平方根的概念吗？如果(x)的平方等于(a)（(a\geq0)），那么(x)叫做(a)的平方根。正数(a)的两个平方根记作(\pm\sqrt{a})，其中正数(a)的正的平方根(\sqrt{a})叫做(a)的算术平方根。比如(2)的平方根是(\pm\sqrt{2})，其中(\sqrt{2})是(2)的算术平方根；(0)的平方根是(0)，(0)的算术平方根也是(0)。

　　下面我们一起来尝试用带有根号的式子表示下列问题中的数量。边长为(1)的正方形，它的对角线长为多少？我们知道正方形的对角线把正方形分成两个等腰直角三角形，根据勾股定理，可得对角线长为(\sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2})，所以边长为(1)的正方形的对角线长为(\sqrt{2})。

　　面积为(s)的圆，它的半径是多少？由圆的面积公式(s = \pi r^{2})，可得(r^{2} = \frac{s}{\pi})，所以(r = \sqrt{\frac{s}{\pi}})，即面积为(s)的圆的半径为(\sqrt{\frac{s}{\pi}})。

　　直角边分别为(a)、(b)的直角三角形，它的斜边长为多少？根据勾股定理，设斜边长为(c)，(c^{2} = a^{2} + b^{2})，所以(c = \sqrt{a^{2} + b^{2}})，即斜边长为(\sqrt{a^{2} + b^{2}})。

　　一个物体从静止状态自由下落，高度(h)米与所需时间(t)秒满足关系式(h = \frac{1}{2}gt^{2})，用(h)表示(t)，其中(g)取值为(10)。首先把(g = 10)代入，得到(h = \frac{1}{2}×10t^{2} = 5t^{2})，由此可得(t^{2} = \frac{h}{5})，所以(t = \sqrt{\frac{h}{5}})，即(h)表示(t)为(\sqrt{\frac{h}{5}})。

　　以上列出的式子(\sqrt{2})、(\sqrt{\frac{s}{\pi}})、(\sqrt{a^{2} + b^{2}})、(\sqrt{\frac{h}{5}})有什么共同特征？它们分别表示什么意义？

　　我们一起来归纳一下：从形式上看，它们都带有根号；它们都表示正数的算术平方根。

　　通过刚才的归纳，我们得出二次根式的概念：一般地，形如(\sqrt{a})（(a\geq0)）的式子叫做二次根式，其中(a)叫做被开方数。要注意，在实数范围内，当(a < 0)时，(\sqrt{a})没有意义，只有当(a\geq0)时，(\sqrt{a})才有意义。

　　你能说说对二次根式(\sqrt{a})的认识吗？

　　生：(\sqrt{a})表示(a)的算术平方根；(a)可以是数、字母，也可以是式子；形式上含有二次根号；(a\geq0)，(\sqrt{a}\geq0)，它具有双重非负性。

　　师：根据二次根式的概念，我们一起来判别下列各式中哪些是二次根式。

　　(\sqrt{32})，根据二次根式的概念，首先它必须含有二次根号，其次被开方数(a)要大于等于(0)，所以(\sqrt{32})是二次根式。

　　(6)，不含有二次根号，所以它不是二次根式。

　　(\sqrt{-8})，被开方数小于(0)，故(\sqrt{-8})不是二次根式。

　　(\sqrt{-m})（(m\leq0)），首先它含有二次根号，其次当(m\leq0)时，(-m\geq0)，被开方数满足大于等于(0)，所以(\sqrt{-m})（(m\leq0)）是二次根式。

　　(\sqrt[3]{7})，含有三次根号，故(\sqrt[3]{7})不是二次根式。

　　(\sqrt{xy})（(xy)异号），当(xy)异号时，(xy < 0)，被开方数小于(0)，故不是二次根式。

　　(\sqrt{a^{2} + 1})（(a)为任意实数），因为(a^{2}\geq0)，所以(a^{2} + 1\geq1)，符合被开方数大于等于(0)，故(\sqrt{a^{2} + 1})是二次根式。

　　下面我们一起来看例一：要使下列各式有意义，(x)应是怎样的实数？

　　(\sqrt{x - 5})，根据二次根式的概念，要使二次根式有意义，被开方数(a)要大于等于(0)。解：要使(\sqrt{x - 5})有意义，必须(x - 5\geq0)，即(x\geq5)。

　　(\sqrt{x^{2} + 1})，同学们仔细观察一下被开方的式子，有什么发现？

　　生：无论(x)取任何实数，总有(x^{2}\geq0)，那么(x^{2} + 1\geq1)，所以二次根式(\sqrt{x^{2} + 1})在实数范围内总有意义，即(x)取一切实数。

　　师：下面请同学们来练习，要使下列各式有意义，(x)应是怎样的实数？先完成一二两个式子。

　　生：1. 要使(\sqrt{x + 3})有意义，必须(x + 3\geq0)，即(x\geq - 3)。

　　2. 要使(\sqrt{1 - 5x})有意义，必须(1 - 5x\geq0)，解这个不等式得(x\leq\frac{1}{5})。

　　师：好，下面三四两题请同学们仔细观察一下被开方的式子，有什么发现呢？

　　生：1. 无论(x)取任何实数，总有(x^{2}\geq0)，所以(x)取一切实数。

　　2. 由(x^{2}\geq0)可得(-x^{2}\leq0)，要使二次根式(\sqrt{-x^{2}})有意义，故(x = 0)。

　　师：好，下面请同学们思考这样几个问题：

　　(\sqrt{2})的意义是什么？

　　生：(\sqrt{2})表示(2)的算术平方根。

　　师：2. ((\sqrt{2})^{2})等于多少呢？

　　生：因为(\sqrt{2})表示(2)的算术平方根，根据算术平方根的意义可得((\sqrt{2})^{2} = 2)。

　　师：类似的，(\sqrt{3})表示(3)的算术平方根，故((\sqrt{3})^{2} = 3)；同理((\sqrt{0.5})^{2} = 0.5)，((\sqrt{\frac{2}{3}})^{2} = \frac{2}{3})等等。你还能举出类似的例子吗？

　　生：（举例略）

　　师：3. ((\sqrt{a})^{2})（(a\geq0)）等于多少？

　　生：事实上，(\sqrt{a})（(a\geq0)）是(a)的算术平方根，根据算术平方根的意义可知，当(a\geq0)时，((\sqrt{a})^{2} = a)。

　　师：于是我们就得出二次根式的性质((\sqrt{a})^{2} = a)，条件是(a\geq0)。要注意：1. (a)可以是数、字母，也可以是式子；2. 等式成立的条件是(a\geq0)。

　　下面我们来看例2，计算并观察一下这三个式子有什么共同特征。结合我们二次根式的性质，来看第一题。

　　根据二次根式的性质，当(a\geq0)时，((\sqrt{a})^{2} = a)。解：((\sqrt{3})^{2} = 3)。

　　((\sqrt{\frac{2}{3}})^{2} = \frac{2}{3})。

　　当(a + b\geq0)时，((\sqrt{a + b})^{2} = a + b)。这里要注意，当根号里面被开方数是含有字母的式子时，我们首先要考虑它的取值范围。

　　下面同学们来练习，先尝试做一下。

　　生：1. ((\sqrt{13})^{2} = 13)。

　　2. ((\sqrt{\frac{3}{7}})^{2} = \frac{3}{7})。

　　3. ((\sqrt{8})^{2} + (\sqrt{2})^{2} = 8 + 2 = 10)。

　　4. ((\sqrt{a^{2} + b^{2}})^{2} = a^{2} + b^{2})。

　　师：这里老师有个疑问，被开方数是含有字母的式子，这里为什么没有给出我们(a)和(b)的取值范围呢？

　　生：因为(a^{2})是大于等于(0)的数，(b^{2})也是大于等于(0)的数，所以(a^{2} + b^{2}\geq0)，我们可以直接运用二次根式的性质来进行计算。

　　师：同学们，你们做对了吗？拓展：将等式((\sqrt{a})^{2} = a)（(a\geq0)）逆过来可得等式(a = (\sqrt{a})^{2})，满足的条件同样是(a\geq0)。于是我们可以把一个非负数写成平方的形式，如我们可以把(6)写成((\sqrt{6})^{2})，(\frac{2}{3} = (\sqrt{\frac{2}{3}})^{2})，(0.5 = (\sqrt{0.5})^{2})等等。你还能举出类似的例子吗？

　　生：（举例略）

　　师：通过这个变形，我们可以对一些多项式进行实数范围内的因式分解。我们来看在实数范围内分解因式：

　　(x^{2} - 3)，首先我们可以把非负数(3)根据二次根式性质的逆用写成平方的形式。解：原式(= x^{2} - (\sqrt{3})^{2})，接着我们发现这个式子具有平方差公式的特征(a^{2} - b^{2} = (a + b)(a - b))，故分解成((x + \sqrt{3})(x - \sqrt{3}))。

　　(x^{2} - 2\sqrt{2}x + 2)，同学们仔细观察一下这个多项式，能利用二次根式的性质对它进行实数范围内的因式分解吗？

　　生：同样，我们首先把(2)写成((\sqrt{2})^{2})，式子就具备了完全平方公式的特征(a^{2} - 2ab + b^{2} = (a - b)^{2})，公式当中的(a)相当于(x)，公式当中的(b)相当于(\sqrt{2})，于是可以分解为((x - \sqrt{2})^{2})。

　　师：同学们学会了吗？好，下面我们一起来小结。本节课我们首先学习了二次根式的概念，形如(\sqrt{a})（(a\geq0)）的式子叫做二次根式。接着我们又研究了二次根式的性质，我们知道(\sqrt{a}\geq0)，(a\geq0)，(\sqrt{a})表示(a)的算术平方根，而被开方数(a)必须符合大于等于(0)，所以它具有双重非负性。我们还知道当(a\geq0)时，((\sqrt{a})^{2} = a)。

　　好，本节课到此结束。