师：同学们，本节课我们学习二次根式。首先，回顾上节课内容。上节课我们学习了二次根式的概念，形如$\sqrt{a}$（$a\geq0$）的式子叫做二次根式，还学习了二次根式的性质，$\sqrt{a}\geq0$体现了它的双重非负性，当$a\geq0$时，$(\sqrt{a})^2 = a$。下面完成一些练习。

　　一、填空

　　要使二次根式$\sqrt{x + 2}$有意义，$x$的取值范围是多少？根据二次根式的概念，要使二次根式有意义，被开方数必须大于等于$0$，即$x + 2\geq0$，解得$x\geq - 2$。

　　计算$(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{5})^2$等于多少？利用二次根式的性质$(\sqrt{a})^2 = a$（$a\geq0$），原式等于$2 + 3 + 5 = 13$。

　　思考：式子$\sqrt{a^2}$是二次根式吗？为什么？$a$应是怎样的实数呢？同学们观察被开方的式子，无论$a$取任何实数，总有$a^2\geq0$，所以$\sqrt{a^2}$是二次根式，$a$为一切实数。

　　下面完成一些填空题，请同学们先解答。

　　$\sqrt{2}^2 = \sqrt{4} = 2$；$\sqrt{(-2)}^2 = \sqrt{4} = 2$。

　　$\sqrt{5}^2 = \sqrt{25} = 5$；$\sqrt{(-5)}^2 = \sqrt{25} = 5$。

　　$\sqrt{10}^2 = \sqrt{100} = 10$；$\sqrt{(-10)}^2 = \sqrt{100} = 10$。

　　$\sqrt{0}^2 = 0$。

　　观察以上式子，你有什么发现？同学们可以纵向观察被开方数的共同特征，再横向观察结果，想一想$\sqrt{a^2}$等于什么？通过观察发现，纵向看这些被开方数，当$a\geq0$时，$\sqrt{a^2} = a$；当$a\lt0$时，$\sqrt{a^2} = -a$。这里可以把$\sqrt{0}^2$这个式子放到下面，此时等号也移到下面，得出当$a\leq0$时，$\sqrt{a^2} = -a$，因为$0$的相反数是$0$。事实上，当$a\geq0$时，$\vert\sqrt{a^2}\vert = a$；当$a\lt0$时，$\vert\sqrt{a^2}\vert = -a$。由此可知，$\sqrt{a^2} = \vert a\vert$。于是得出二次根式的另一个性质：$\sqrt{a^2} = \vert a\vert$，当$a\geq0$时等于$a$，当$a\lt0$时等于$-a$，也可以分成三类：当$a\gt0$时，$\sqrt{a^2} = a$；当$a = 0$时，$\sqrt{a^2} = 0$；当$a\lt0$时，$\sqrt{a^2} = -a$。要注意，$a$可以是数字、字母，也可以是式子，$a$取一切实数。

　　下面来看例题计算。观察这两个式子，联系二次根式的性质。

　　解：$\sqrt{(-1.5)}^2 = \vert - 1.5\vert = 1.5$，运用二次根式的性质$\sqrt{a^2} = \vert a\vert$，当$a\lt0$时，$\vert a\vert = -a$。

　　$\sqrt{(\pi - 1)}^2 = \vert\pi - 1\vert$，因为$\pi\approx3.14$，所以$\pi - 1\gt0$，结果为$\pi - 1$。

　　$\sqrt{(x - 1)}^2$（$x\leq1$），被开方数是含有字母的式子，先考虑$a$的取值。当$x\leq1$时，$x - 1\leq0$，于是$\sqrt{(x - 1)}^2 = \vert x - 1\vert$，由于$x - 1\leq0$，取相反数$-(x - 1)$，结果为$1 - x$。

　　下面来看练习一，下列各式是否成立。同学们先观察这四个式子。

　　$\sqrt{(\frac{1}{2})}^2 = \frac{1}{2}$。根据二次根式的性质，$\sqrt{(\frac{1}{2})}^2 = \vert\frac{1}{2}\vert = \frac{1}{2}$，成立。

　　$\sqrt{(-\frac{1}{2})}^2 = -\frac{1}{2}$。根据性质，$\sqrt{(-\frac{1}{2})}^2 = \vert-\frac{1}{2}\vert$，应取它的相反数，结果为$\frac{1}{2}$，这个式子不成立。