师：同学们，今天我们继续学习二次根式的乘除。首先回顾一下二次根式的乘法运算法则：两个算术平方根的积等于积的算术平方根，用公式表示为$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$（$a \geq 0$，$b \geq 0$）；反过来，$\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$（$a \geq 0$，$b \geq 0$）。运用这两个式子，我们可以对一些二次根式进行计算和化简。

　　上一节课，我们计算过$\sqrt{27} \times \sqrt{3}$。根据二次根式乘法运算法则，把被开方数相乘，将$27$分解成$9 \times 3$，整理为$\sqrt{9^2 \times 3}$，最后结果等于$9$。还有$\sqrt{2a} \cdot \sqrt{\frac{a}{2}} \cdot \sqrt{a^2}$（$a \geq 0$）。当$a \geq 0$时，把被开方数相乘，这是二次根式乘法运算公式的推广。被开方数计算后得$\sqrt{a^4} = \sqrt{(a^2)^2}$，利用二次根式的性质得$a^2$。

　　我们再来看化简$\sqrt{8x^3y}$（$x \geq 0$，$y \geq 0$）。当$x \geq 0$，$y \geq 0$时，把被开方数$8x^3y$，$8$分解成$2 \times 4$，$x^3y$分解为$x^2 \cdot x \cdot y$，整理后等于$\sqrt{(2x)^2 \cdot 2xy}$。这里主要是将被开方数分解为能开方的因数因式和不能开方的因数因式的积。接着利用乘法运算法则，等于$\sqrt{(2x)^2} \cdot \sqrt{2xy}$，最后开方得$2x\sqrt{2xy}$。要注意结果中被开方数不能还含有能开得尽方的因数或因式。

　　本节课我们将进一步熟练二次根式的乘法运算及化简。先来看例一，化简：

　　$\sqrt{a^2(b + c)^2}$（$a \geq 0$，$b + c \geq 0$）。观察被开方的式子是积的形式，可直接运用二次根式的乘法运算法则。解：当$a \geq 0$，$b + c \geq 0$时，$\sqrt{a^2(b + c)^2} = \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{(b + c)^2}$，然后进行开方，等于$a(b + c)$。注意这里$b + c$是一个整体。同学们要注意，被开方数为字母式子时化简要先考虑字母取值范围。

　　$\sqrt{x^2(x + y)}$（$x \geq 0$，$x + y \geq 0$）。被开方式子是积的形式，可直接利用乘法运算法则。解：当$x \geq 0$，$x + y \geq 0$时，$\sqrt{x^2(x + y)} = \sqrt{x^2} \cdot \sqrt{x + y}$，开方后得$x\sqrt{x + y}$。

　　$\sqrt{x^3 + x^2y}$（$x \geq 0$，$x + y \geq 0$）。观察被开方的式子是和的形式，不能直接运用二次根式乘法运算法则。当被开方数是多项式时，应先进行因式分解，转化为几个因式积的形式才能进行开方。解：当$x \geq 0$，$x + y \geq 0$时，把被开方数进行因式分解，提出$x^2$得$\sqrt{x^2(x + y)}$。再利用乘法运算法则等于$\sqrt{x^2} \cdot \sqrt{x + y}$，开方后得$x\sqrt{x + y}$。

　　下面请同学们尝试练习。同学们肯定发现这两个二次根式被开方式子都是多项式，因此在化简之前先要对被开方式进行因式分解。

　　$\sqrt{x^4 + x^2}$（$x \geq 0$）。解：当$x \geq 0$时，被开方式子提出公因式$x^2$得$\sqrt{x^2(x^2 + 1)}$。然后等于$\sqrt{x^2} \cdot \sqrt{x^2 + 1}$，开方后得$x\sqrt{x^2 + 1}$。

　　$\sqrt{x^3 + 2x^2y + xy^2}$（$x \geq 0$，$x + y \geq 0$）。解：当$x \geq 0$，$x + y \geq 0$时，同样对被开方数进行因式分解。先提出公因式$x$，然后发现括号内是完全平方和公式，因式分解后得$\sqrt{x(x + y)^2}$。接着逆用乘法运算法则等于$\sqrt{x} \cdot \sqrt{(x + y)^2}$，开方后得$(x + y)\sqrt{x}$。这里$x + y$是一个整体，要加括号。

　　我们再来看例 2 计算：

　　$\sqrt{6} \times \sqrt{15}$。显然可直接用二次根式的乘法运算法则。解：$\sqrt{6} \times \sqrt{15} = \sqrt{6 \times 15}$，被开方数分解整理成$\sqrt{3^2 \times 10}$。然后利用乘法运算法则等于$\sqrt{3^2} \cdot \sqrt{10}$，最后开方得$3\sqrt{10}$。回顾本题解题步骤和过程，先进行二次根式的乘法运算，之后又利用二次根式的乘法运算公式来进行化简。注意最后结果不能还含有能开得尽方的因数或因式。

　　$\sqrt{\frac{1}{2}} \times \sqrt{24}$。同学们观察这个式子，可以直接进行乘法运算，也可发现$\sqrt{24}$能进行化简，不妨把两种方法都尝试一下。

　　解法一：先进行乘法运算，再化简。把被开方数相乘，然后计算等于$\sqrt{12}$，分解成$\sqrt{4 \times 3}$，再化简，利用公式开方后等于$2\sqrt{3}$。

　　解法二：先进行化简，再进行乘法运算。把$\sqrt{24}$被开方数$24$分解成$4 \times 6$，开方后等于$2\sqrt{6}$，然后进行乘法运算，等于$2\sqrt{\frac{1}{2} \times 6}$，把被开方数相乘，最后得$2\sqrt{3}$。

　　$\sqrt{a^3} \times \sqrt{ab}$（$a \geq 0$，$b \geq 0$）。观察这个式子，同样可用两种方法计算。

　　先进行乘法运算再化简。当$a \geq 0$，$b \geq 0$时，把被开方数相乘，$\sqrt{a^3} \times \sqrt{ab} = \sqrt{a^3 \cdot ab}$，然后分解成$\sqrt{a^4} \cdot \sqrt{b}$。这里利用乘法运算对它进行化简，然后开方得$a^2\sqrt{b}$。

　　先化简，然后进行乘法运算。同样当$a \geq 0$，$b \geq 0$时，先把$\sqrt{a^3}$进行化简，开方后得$a\sqrt{a}$，再进行乘法运算，把被开方数相乘等于$a\sqrt{a \cdot ab}$，计算等于$a \cdot a\sqrt{b}$，最后得$a^2\sqrt{b}$。