师：同学们，今天我们来学习二次根式的乘除4。首先，一起回顾下前两节课的内容。二次根式的乘法运算法则用公式表示为：$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$（$a \geq 0$，$b \geq 0$）；二次根式的除法运算法则用公式表示为：$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$（$a \geq 0$，$b > 0$）。下面进入今天的学习内容，先做填空一。同学们观察第一个式子，利用二次根式的除法运算法则，$\sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$。第二题，$\sqrt{\frac{1}{3}}$，被开方数是分数，我们把分子分母同时乘以3，再利用二次根式的除法运算法则，分子、分母分别开方，最后等于$\frac{\sqrt{3}}{3}$。第三，当$a > 0$时，对$\sqrt{\frac{1}{a}}$进行化简，被开方数$\frac{1}{a}$是分式，我们把分子、分母同时乘以$a$，然后利用二次根式的除法运算，等于$\sqrt{\frac{1\times a}{a\times a}}$，开方后得$\frac{\sqrt{a}}{a}$。

　　通过以上三题我们发现，当一个根式的被开方数是分数或分式时，只要分子、分母都乘适当的数或式，使分母成为开得尽方的因数或因式，就可以使被开方数中不含分母。比如化简二次根式$\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a \geq 0$，$b > 0$），使被开方数中不含分母。当$a \geq 0$，$b > 0$时，由于被开方数是分式，根据分式的基本性质，把分子、分母同时乘以$b$，等于$\sqrt{\frac{ab}{b^2}}$，再利用二次根式的除法运算法则，等于$\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{b^2}}$，最后分母根据二次根式的性质开方得$\frac{\sqrt{ab}}{b}$。

　　接下来看例一，化简下列各式，使被开方数中不含分母。第一，$\sqrt{\frac{2}{3}}$，被开方数$\frac{2}{3}$是分数，我们把分子分母同时乘以3，$\sqrt{\frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{2\times3}{3\times3}}$，开方得$\frac{\sqrt{6}}{3}$。第二，$\sqrt{2\frac{1}{3}}$，被开方数是带分数，首先把它化成假分数，$\sqrt{2\frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{7}{3}}$，然后被开方数分子分母同时乘以3，开方得$\frac{\sqrt{21}}{3}$。第三，$\sqrt{\frac{2y}{3x}}$（$x > 0$，$y \geq 0$），被开方数是分式。当$x > 0$，$y \geq 0$时，我们把被开方数分子、分母同时乘以$3x$，开方得$\frac{\sqrt{6xy}}{3x}$。

　　下面请同学们做练习，化简下列各式，使被开方数中不含分母。第一，$\sqrt{\frac{2}{5}}$，$\sqrt{\frac{2}{5}} = \sqrt{\frac{2\times5}{5\times5}}$，分子分母同时乘以5，得$\frac{\sqrt{10}}{5}$。第二，$\sqrt{3\frac{1}{5}}$，首先把带分数化成假分数，$\sqrt{3\frac{1}{5}} = \sqrt{\frac{16}{5}}$，然后分子分母同时乘以5，得$\frac{4\sqrt{5}}{5}$。第三，$\sqrt{\frac{3b}{5a}}$（$a > 0$，$b \geq 0$），当$a > 0$，$b \geq 0$时，$\sqrt{\frac{3b}{5a}}$，把被开方数分子分母同时乘以$5a$，得$\frac{\sqrt{15ab}}{5a}$。

　　再看填空2，同学们观察这两个式子。第一个式子$\sqrt{\frac{1}{2}}$，分母含有根号，而最后结果分母不含根号。于是我们把分子、分母同时乘以$\sqrt{2}$，最后得$\frac{\sqrt{2}}{2}$。计算$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，分母含有根号，而最后结果不含根号。于是我们把分子、分母同时乘以$\sqrt{3}$，得$\frac{\sqrt{6}}{3}$。当$a > 0$时，计算$\sqrt{\frac{1}{a}}$，同样要化解分母当中的根号，把分子、分母同时乘以$\sqrt{a}$，最后结果为$\frac{\sqrt{a}}{a}$。

　　通过以上三题我们发现，当一个式子的分母中有根号时，只要分子、分母都乘适当的数或式，就可以使分母中不含有根号。比如化简式子$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$（$a \geq 0$，$b > 0$），使分母不含有根号。当$a \geq 0$，$b > 0$时，根据分式的基本性质，分子分母同时乘以$\sqrt{b}$，然后分母根据二次根式的性质等于$b$，分子利用二次根式的乘法运算等于$\sqrt{ab}$，结果为$\frac{\sqrt{ab}}{b}$。

　　接着看例二，化解下列各式，使分母中不含根号。第一，$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，我们把分子、分母同时乘以$\sqrt{3}$，得$\frac{\sqrt{6}}{3}$。第二，$\sqrt{\frac{1}{5}}$，我们把分子、分母同时乘以$\sqrt{5}$，最后得$\frac{\sqrt{5}}{5}$。第三，$\sqrt{\frac{5y}{18x^3}}$（$x > 0$，$y \geq 0$），当$x > 0$，$y \geq 0$时，$\sqrt{\frac{5y}{18x^3}}$，我们把分子、分母同时乘以$\sqrt{2x}$，这样分母就等于$\sqrt{36x^4}$，分子为$\sqrt{10xy}$，分母开方后得$6x^2$，结果为$\frac{\sqrt{10xy}}{6x^2}$。