师：我们都知道，从定义到性质到运算是研究数与式问题的基本思路。前一阶段学习二次根式，我们也是从定义出发，研究了二次根式的性质、运算，包括乘除，上节课还研究了二次根式的加减。那大家思考一下，今天我们要继续研究二次根式的什么内容呢？

　　生：二次根式的混合运算。

　　师：对，今天我们一起来学习二次根式的混合运算。同学们思考以下几个问题。第一个，二次根式的乘除运算法则是什么？能用符号表示吗？

　　生：根号a乘以根号b等于根号AB 。

　　师：这里的字母a和b有什么要求呢？

　　生：当a大于等于0的时候，同时b也要大于等于0 。

　　师：那二次根式的除法运算法则如何用符号表示呢？

　　生：根号b分之根号a等于根号b分之a 。

　　师：此时a和b又有怎样的要求？

　　生：a应当大于等于0，同时b大于0，b在分母位置，b等于0时无意义。

　　师：提醒同学们，进行二次根式的乘除运算时，运算结果一定要化成最简二次根式。请思考第二个问题，二次根式的加减运算法则是什么？能用文字语言描述吗？

　　生：二次根式相加减，先化简每个二次根式，然后合并同类二次根式。

　　师：也就是说，进行二次根式加减运算，第一步先观察二次根式，把它们化简成最简二次根式。接下来找同类二次根式并合并。那二次根式加减运算，法则的依据是什么？

　　生：乘法分配律。

　　师：请回忆，进行整式运算时，常见的运算律以及公式有哪些？

　　生：有乘法分配律，用(a + b)×(n + m)表示，它等于An + Am + Bn + Bm 。公式有平方差公式，(a + b)×(a - b)= a2 - b2 。还有完全平方公式，(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ，(a - b)2 = a2 - 2ab + b2 。

　　师：复习完整式运算的这些内容，来看二次根式的混合运算该如何进行。思考这个题目：(根号5/12 + 2根号3)×根号15 ，观察这个式子，大家有什么想法？

　　生：可以把它与整式乘法中单项式乘以多项式类比，把后面的根号15看成一个单项式，括号看成一个多项式，展开就行。

　　师：原式就等于根号5/12×根号15 + 2根号3×根号15 ，这一步的依据是什么？

　　生：乘法分配律。

　　师：接下来这步等于根号下5/12×15 + 2倍根号3×15 ，依据又是什么？

　　生：二次根式的性质，二次根式可以相乘。

　　师：看前半部分，12和15同时约去3，得到根号25/4 ，算出来等于5/2 ，后半部分15是3乘以5 ，把3从根号里提出来，最终得到5/2 + 6根号5 。请同学们看第二小题：(3 + 根号10)×(根号2 - 根号5) ，对于二次根式的混合运算，要注意运算顺序，一般先算乘方，再算乘除，后算加减，有括号先算括号里面的。观察式子，大家有什么想法？

　　生：可以与多项式乘以多项式类比进行计算。

　　师：展开原式等于3根号2 - 3根号5 + 根号10×根号2 - 根号10×根号5 ，这一步依据是什么？

　　生：乘法分配律。

　　师：继续计算，根号10×根号2等于根号20 ，也就是2根号5 ，最后一部分根号50 ，即5根号2 。把同类二次根式合并，最后结果等于 - 2根号2 - 根号5 。在进行二次根式的混合运算时，整式运算的法则、公式以及运算律仍然适用。请同学们看例2计算题的第一小题：(根号3 + 根号2)×(根号3 - 根号2) ，除了完全展开，还有别的简便方法吗？

　　生：通过观察发现它和平方差公式类似，可以直接用平方差公式。

　　师：原式等于根号3的平方 - 根号2的平方，也就是3 - 2 = 1 。提醒同学们，一般能用公式就用公式，这样运算更简便。请看第二小题，同学们先观察。

　　生：它类似于完全平方公式。

　　师：直接用完全平方公式展开，原式等于32 + 2×3×2根号5 + (2根号5)2 ，分别计算等于9 + 12根号5 + 20 ，最后结果是29 + 12根号5 。接下来请同学们完成4道巩固练习，做完后对照答案校对。

　　第一题答案：3根号2 + 4根号3 。

　　第二题答案：11 + 5根号5 。

　　第三题答案：9 。

　　第四题答案：22 - 4根号10 。

　　师：请同学们再看第5题计算和第6题计算，这两个题目与刚才做的有什么不同？

　　生：这两个题目的被开方数出现了字母，不过后面分别给出了字母的取值范围。

　　师：看第5小题，可以利用完全平方公式直接做，原式就等于a + b - 2根号ab 。再观察第6题，第六题是加减混合运算，第一部分4可以写成2根号x ，第二部分已是最简，第三部分根号8x ，可把8x看成4×2x ，把4拿出来，最后一部分4根号x已是最简二次根式，所以原式就等于2根号x + 2根号2x - 1/2×2根号2x - 4根号x 。继续计算，合并同类二次根式可得最后的结果是 - 2根号x + 根号2x 。同学们请看例3，已知x = 根号3 + 根号2 ，y = 根号3 - 根号2 ，求下列各式的值。第一小题，x2 - 2xy + y2 ，这个式子熟悉吗？