师：同学们，今天我们学习反比例函数。改革开放40年来，中国铁路尤其是中国高铁飞速发展，成为一张闪亮的中国名片，从路线单一到辐射全国，从追赶到领跑，从走得了变成走得好，作为中国人，我们为此骄傲。在这样的问题背景中，我们用数学的眼光观察，看看有哪些数学问题。

　　南京与北京高铁线路全程长约1200千米，若高铁以速度v千米每小时开往北京，全程所用时间t小时。来填写表格，当v分别等于150、200、250、300、350时，求t的值。我们知道时间t等于路程除以速度，当v = 150时，t = 1200÷150 = 8；当v = 200时，t = 1200÷200 = 6；当v = 250时，t = 1200÷250 = 4.8；当v = 300时，t = 1200÷300 = 4；当v = 350时，t = 1200÷350 = 24 / 7 。请观察表格，随着速度的变化，所用时间发生怎样的变化呢？从表格中可以看出，v从150到200到250依次增加，而时间t由8到6到4.8再逐步变小。也就是随着速度v的变大，所花时间在变小，这与我们的生活经验一致，当路程一定时，速度越快，所花时间越少。

　　你们可以用表达式描述时间t与速度v的关系吗？我们知道时间t等于全程长除以速度，从而得到表达式t = 1200 / v 。该情境中时间t是速度v的函数吗？要判断是否是函数，我们运用函数的概念，t和v是同一变化过程中的两个变量，t随着v的变化而变化，而且对于v的每一个值，t都有唯一的值与之对应，则t是v的函数。用函数表达式表示下列问题中两个变量之间的关系。

　　一、修建这条全程长1200千米的高铁线路，完成项目的天数y随日完成量x千米的变化而变化。在该情境中，有全程长、完成项目的天数、日完成量这几个量，它们的关系是，完成项目的天数乘以日完成量等于全程长，从而得到关系式xy = 1200 。

　　二、若某银行为该高铁线提供了500亿元的无息贷款，因此平均年还款额y亿元随还款年限x年的变化而变化。在该情境中有无息贷款总额、平均年还款额以及还款年限这几个量。它们之间的关系是，平均年还款额等于无息贷款总额除以还款年限。由此我们可以得到表达式为y = 500 / x 。

　　三、若某车次高铁以320千米每小时的速度离开南京，该车次高铁行驶的路程s千米随出发时间t小时的变化而变化。在该情境中有速度、高铁行驶的路程、出发的时间这几个量。它们之间的关系是，高铁行驶的路程等于速度乘以出发的时间。由此我们得到表达式为s = 320t 。

　　四、高铁每小时营运成本是2万元，每小时人均营运成本m元，随乘客人数n人的变化而变化。这里面涉及每小时营运成本、每小时人均营运成本以及乘客人数这几个量。这些量之间的关系是人均营运成本等于总成本除以乘客数，从而得到表达式m = 20000 / n 。

　　五、若某车次高铁以320千米每小时速度从南京开往北京，全程长是1200千米。该车次高铁到北京剩余的路程s千米随出发时间t的变化而变化。在该情境中有速度、全程长、到北京剩余的路程以及出发的时间这几个量，它们之间的关系是高铁到北京剩余的路程等于总路程减去高铁离开南京的路程，而高铁离开南京的路程又等于速度乘以出发的时间，从而得到关系式s = 1200 - 320t 。

　　六、该高铁线路销售一种纪念品，这种纪念品的成本价10元每件，已知销售价不低于成本价，而且物价部门规定这种商品的销售价不高于16元每件。市场调查发现，该商品每天的销售量y件与销售价x元每件之间的函数关系是y = - x + 40，其中10 ≤ x ≤ 16 。每天的销售利润w元随销售价x元每件的变化而变化。在该情境中，有成本价、销售量以及销售利润这几个量。它们之间的关系是，销售利润等于销售价减去成本价乘以销售量，将其变形为w = - x2 + 50x - 400 。

　　那么我们看，根据上述问题情境，我们得到了这样几个函数关系式，分别是t = 1200 / v ，xy = 1200 ，y = 500 / x ，s = 320t ，m = 20000 / n ，s = 1200 - 320t ，w = - x2 + 50x - 400 。

　　问题一：这些函数关系式中有已经学过的函数吗？若有，请回忆研究该函数的一般路径。观察上述函数，我们知道s = 320t是我们已经学习过的正比例函数，s = 1200 - 320t是我们学习过的一次函数。那么研究这些函数的一般路径是先根据生活问题进行数学抽象，从而得到一次函数的概念，即y = kx + b（k ≠ 0，k、b为常数）。然后由数到形研究一次函数的图像以及图像的性质，运用一次函数的图像及其性质解决生活问题。

　　当然，我们在研究一次函数图像时，将b进行特殊取值，b的值为0，从而得到了正比例函数y = kx（k ≠ 0，k为常数）。那么请大家思考一下，我们为什么将其命名为正比例函数呢？我们将y = kx进行变形，得到y / x = k，此时y和x的比值是一个定值。我们曾经学过，如果两个量的比值为一个定值，这两个量是成正比例的，所以将函数y = kx命名为正比例函数。

　　问题二：你能对没学习过的函数进行分类吗？请说出你的分类标准。我们发现t = 1200 / v ，y = 500 / x ，m = 20000 / n 这三个函数它们的形式是一致的，左侧都是因变量，右侧都是一个分式，分母是自变量，分子是一个常量，它们形式上一致，因此我们可以把它归类为y = k / x（k为常数）这一类。再观察剩余的两个函数，其中xy = 1200，我们可以将其变形为y = 1200 / x 。也就是说它可以和刚才三个函数作为同一类，但是w = - x2 + 50x - 400是单独一类。