师：同学们，今天我们继续学习反比例函数的图像与性质。上节课我们研究了反比例函数的图像，先从由数想形，通过数学式子特点大致了解函数图像特点，接着用描点法，即列表、描点、连线，画出反比例函数(y = \frac{6}{x})的图像，然后借助(y = \frac{k}{x}(k \neq 0))与(y = -\frac{k}{x})的对称性，画出(y = -\frac{k}{x})的图像。

　　本节课，我们借助描点法画出(y = \frac{6}{x})、(y = \frac{4}{x})、(y = \frac{1}{x})，以及(y = -\frac{6}{x})的图像，画(y = -\frac{6}{x})的图像可借助(y = \frac{6}{x})与之关于对称轴对称的特征。同理，也可画出(y = -\frac{4}{x})与(y = -\frac{1}{x})的图像，这里就不一一展示了。

　　通过这些图像，我们发现反比例函数(y = \frac{k}{x})（(k)为常数，(k \neq 0)）的图像由两支曲线组成，称为双曲线。当(k)的取值不同时，图像分布不同。

　　先以(y = \frac{6}{x})为例，当(k > 0)时，反比例函数图像分布在一、三象限，且每一支图像从左往右呈下降趋势，所以当(k > 0)时，双曲线的两支分别在第一、三象限，在每一个象限内，(y)随(x)的增大而减小。

　　再以(y = -\frac{6}{x})为例，当(k < 0)时，图像分布在二、四象限，每一支图像从左往右呈上升趋势，所以当(k < 0)时，双曲线的两支分别在第二、四象限，在每一个象限内，(y)随(x)的增大而增大。

　　通过归纳发现，我们主要研究了函数图像、(k)的符号、图像所在象限以及在每个象限内的增减性。给定图像，可判断(k)的符号，比如图像在第一、三象限，(k > 0)，在每一个象限内(y)随(x)的增大而减小；图像在第二、四象限，(k < 0)，在每一个象限内(y)随(x)的增大而增大。

　　大家思考一下，我们分析反比例函数图像增减性时强调在每一个象限内，如果不在同一象限，能否比较函数值大小呢？当(k > 0)时，第一象限内任意一点对应的函数值大于第三象限任意点对应的函数值；当(k < 0)时，第二象限内任意一点对应的函数值大于第四象限任意一点对应的函数值。

　　对于每一个象限内的增减性，能用符号语言表述吗？假设在图像上取两点((x_1, y_1))，((x_2, y_2))，设(x_1 < x_2 < 0)，此时对于(k > 0)，相当于取第三象限的图像；对于(k < 0)，相当于取第二象限的图像。因为(x_1 < x_2)，(x)值增大，(y)随(x)增大而减小，所以(y_1 > y_2)。同理，当(y)随(x)增大而增大时，(y_1 < y_2)。

　　这里有两点说明，第一，设(x_1 < x_2 < 0)，也可设(x_1 > x_2 > 0)，此时对于(k > 0)，取第一象限图像研究；对于(k < 0)，取第四象限图像研究。第二，从增大而增大以及增大而减小，可根据不等号方向判断，(x_1)、(y_1)、(x_2)、(y_2)对应的不等号方向相反，就是增大而减小；方向相同，就是增大而增大。

　　下面比较正比例函数与反比例函数的异同。表达式上，正比例函数是(y = kx(k \neq 0))，反比例函数是(y = \frac{k}{x}(k \neq 0))。图像所在位置都受(k)的符号影响，当(k > 0)时，正比例函数图像是经过原点在一、三象限的直线，反比例函数是一、三象限的双曲线；当(k < 0)时，正比例函数图像是经过原点在二、四象限的直线，反比例函数是二、四象限的双曲线。

　　相同之处在于，当(k > 0)时，图像都在第一、三象限；当(k < 0)时，图像都在第二、四象限。不同之处在于，反比例函数图像由两支曲线构成，自变量(x)取值不能为(0)，不连续；正比例函数图像是经过原点的直线。而且反比例函数图像变化趋势在各象限内比较，正比例函数图像是对整个图像而言，且变化趋势相反。以(k > 0)为例，正比例函数图像从左往右上升，(y)随(x)增大而增大；反比例函数在各象限内从左往右下降，(y)随(x)增大而减小。

　　接下来看简单尝试题目，对于反比例函数(y = \frac{2}{x})，(y = \frac{1}{3x})，(y = -\frac{10}{7x})，(y = \frac{3}{100x})。第一小题，判断图像在第一、三象限还是第二、四象限，看(k)值，(k > 0)在第一、三象限，(k < 0)在第二、四象限。(y = \frac{2}{x})，(k = 2)，在第一、三象限；(y = \frac{1}{3x})，(k = \frac{1}{3})，在第一、三象限；(y = -\frac{10}{7x})，(k = -\frac{10}{7})，在第二、四象限；(y = \frac{3}{100x})，(k = \frac{3}{100})，在第一、三象限。所以在第一、三象限的是(y = \frac{2}{x})，(y = \frac{1}{3x})，(y = \frac{3}{100x})；在第二、四象限的是(y = -\frac{10}{7x})。

　　第二小题，判断在各象限内(y)随(x)增大而增大的函数，(k < 0)时满足，所以答案是(y = -\frac{10}{7x})。

　　看典型例题，已知反比例函数(y = \frac{k}{x})图像经过点(A(2, -4))，求(k)的值。因为点在函数图像上，横纵坐标满足函数关系式，将(x = 2)，(y = -4)代入(y = \frac{k}{x})，得(-4 = \frac{k}{2})，解得(k = -8)。

　　函数图像在哪几个象限？(y)随(x)怎样变化？因为(k = -8 < 0)，由反比例函数性质可知，函数(y = -\frac{8}{x})的图像在第二、四象限，在每一个象限内，(y)随(x)的增大而增大。

　　点(B(\frac{1}{2}, -16))、(C(-3, 5))在这个函数图像上吗？判断点是否在函数图像上，看点的横纵坐标是否满足函数关系式。以点(B)为例，把(x = \frac{1}{2})代入函数关系式，得(y = -16)，与点(B)纵坐标相同，所以点(B(\frac{1}{2}, -16))在函数(y = -\frac{8}{x})的图像上。也可把(y = -16)代入函数关系式求(x)值，判断与(B)横坐标是否相同。对于点(C)，把(x = -3)代入(y = -\frac{8}{x})，得(y = \frac{8}{3})，与点(C)纵坐标(5)不同，所以点(C(-3, 5))不在函数(y = -\frac{8}{x})的图像上。

　　点(E(4, m))、(F(n, 2))在这个函数图像上，求(m)、(n)的值。把点(E)坐标代入(y = -\frac{8}{x})，得(m = -2)；把点(F)坐标代入(y = -\frac{8}{x})，得(2 = -\frac{8}{n})，解得(n = -4)。

　　通过本例可知，当反比例函数比例系数(k)确定，函数图像上点的横纵坐标关系确定，对于点的横、纵坐标以及比例系数(k)，知道其中两个就能求出第三个。观察点(E(4, -2))、(F(-4, 2))的坐标特征，可发现这两个点关于原点(O)成中心对称，且横纵坐标之积都等于定值。

　　由此探究，若点(A)在反比例函数图像上，设反比例函数表达式为(y = \frac{k}{x}(k \neq 0))，令点(A)横坐标为(a)，则点(A)坐标为((a, \frac{k}{a}))，点(A)关于原点的对称点(A')坐标为((-a, -\frac{k}{a}))。将(x = -a)代入函数表达式，(y = -\frac{k}{a})，与(A')纵坐标相等，说明点(A')也在函数图像上。所以得到一般性结论：反比例函数图像的两支曲线关于原点(O)成中心对称。

　　简单尝试，如图，正比例函数图像与反比例函数图像交于点(A)、(B)，若点(A)坐标是((3, 2))，根据反比例函数图像关于原点成中心对称，可知(A)、(B)两点关于原点(O)成中心对称，所以点(B)坐标是((-3, -2))。

　　探究(2)，在反比例函数(y = \frac{k}{x}(k \neq 0))图像上，点横纵坐标之积是定值(k)，由此思考(k)的几何意义。点(P)横坐标绝对值是(P)到(x)轴垂线的长度，纵坐标绝对值是(P)到(y)轴垂线的长度，两者乘积是矩形面积。所以得到结论：反比例函数图像上任意一点向坐标轴引垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形面积是(\vert k \vert)。

　　同学们，通过本节课学习，我们得到以下结论：

　　一、反比例函数(y = \frac{k}{x})（(k)为常数，(k \neq 0)）的图像是双曲线。当(k > 0)时，双曲线两支分别在第一、三象限，在每一个象限内，(y)随(x)的增大而减小；当(k < 0)时，双曲线两支分别在第二、四象限，在每一个象限内，(y)随(x)的增大而增大。

　　二、反比例函数图像的两支曲线关于原点(O)成中心对称。

　　三、反比例函数图像上任意一点向坐标轴引垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形面积是(\vert k \vert)。

　　除了这些知识结论，我们还运用了从特殊到一般的归纳思想，借助(y = \frac{6}{x})、(y = -\frac{6}{x})的函数图像，归纳反比例函数(y = \frac{k}{x})的图像及性质。本节课到此结束。