师：同学们，今天我们学习反比例函数的图像与性质。首先回顾一下，什么是反比例函数？一般形如(y=\frac{k}{x})（(k)为常数，(k\neq0)）的函数叫做反比例函数。其中(x)是自变量，(y)是(x)的函数，(k)是比例系数。反比例函数自变量(x)的取值范围是不等于(0)的一切实数。

　　今天我们研究反比例函数的图像。研究之前，先回顾一次函数图像的研究过程。请回忆画一次函数图像的基本步骤是什么？

　　生：列表、描点、连线。列表就是取一些自变量(x)的值，代入函数关系式求出(y)的值；描点是将自变量(x)值作为点的横坐标，因变量(y)作为点的纵坐标，在平面直角坐标系中描出这些点；最后连线。

　　师：很好。那如何确定相邻两点之间的函数图像呢？

　　生：可以在相邻两点之间取更多的点，发现一般规律，这个过程叫加密。确定一次函数图像是直线后，我们采用两点法简化了画一次函数图像的过程。

　　师：非常棒。现在我们来研究反比例函数的图像，以(y=\frac{6}{x})为例。大家能根据函数表达式(y=\frac{6}{x})分析函数图像的特征吗？先思考第一个问题，函数图像与坐标轴有交点吗？为什么？

　　生：(x)轴上的点纵坐标(y = 0)，代入函数表达式(y=\frac{6}{x})，(0=\frac{6}{x})，(x)无解，所以函数图像与(x)轴没有交点。又因为(x)不能等于(0)，所以函数图像与(y)轴也没有交点，即函数图像与坐标轴没有交点。

　　师：回答正确。第二个问题，函数图像会分布在哪些象限呢？为什么？

　　生：研究函数图像分布的象限，就是看函数图像上点横纵坐标的符号特征。设横坐标(x)为正，代入函数关系式(y=\frac{6}{x})，(y)值也为正，此时图像在第一象限；若(x)取负值，相应(y)值为负值，点的横纵坐标都为负，此时在第三象限。所以该函数图像在一、三象限。

　　师：非常好。第三个问题，图像是对称的吗？为什么？

　　生：提到对称，关注它的轴对称性和中心对称性。令(x = a)，(y=\frac{6}{a})，函数图像经过点((a,\frac{6}{a}))；令(x = -a)，(y = -\frac{6}{a})，函数图像经过点(( - a,-\frac{6}{a}))，这两个点关于原点(O)成中心对称。所以反比例函数(y=\frac{6}{x})的图像关于原点(O)成中心对称。

　　师：很棒。那第四个问题，当(x\gt0)时，随着(x)增大，(y)怎样变化呢？

　　生：取(x = 10)，(y = 6)；(x = 20)，(y = 3)；(x = 30)，(y = 2)，以此类推，发现(x\gt0)时，随着(x)增大，(y)值变小。对应到函数图像上，(x)增大，图像从左往右(y)变小，说明图像在下降。

　　师：没错。那(x\lt0)时呢？

　　生：取(x = - 6)时，(y = - 1)；(x = - 5)时，(y = - 1.2)；(x = - 4)时，(y = - 1.5)。即当(x\lt0)时，随着(x)增大，(y)值也在变小。对应到函数图像，在(y)轴左半边，从左往右图像也呈下降趋势。

　　师：很好。我们根据函数表达式的特征分析函数图像的特征，这个过程叫以数想形，它能帮助我们了解图像大致特征，为画出准确函数图像做铺垫。下面我们通过列表、描点、连线的一般过程，看看(y=\frac{6}{x})的函数图像究竟是什么样。列表时，(x)要取一系列值，前面以数想形知道图像关于原点(O)成中心对称，所以(x)分别取(-6)、(-5)、(-4)、(-3)、(-2)、(-1)、(1)、(2)、(3)、(4)、(5)、(6)，代入函数关系式求出相应(y)值为(-1)、(-\frac{6}{5})、(-\frac{3}{2})、(-2)、(-3)、(-6)、(6)、(3)、(2)、(\frac{3}{2})、(\frac{6}{5})、(1)。列表要注意，第一，自变量(x)在取值范围内取值，这里(x)不能取(0)；第二，自变量(x)取值要有代表性，兼顾正负性；第三，表格中自变量取值首尾用省略号表示(x)可取无数个值，对应函数图像向正方向和负方向无限延伸。

　　接下来描点，描点前先建立平面直角坐标系，根据数据特点取单位长度为(1)，建立好坐标系后，依次描出点(( - 6,-1))、(( - 5,-\frac{6}{5}))、(( - 4,-\frac{3}{2}))、(( - 3,-2))、(( - 2,-3))、(( - 1,-6))、((1,6))、((2,3))、((3,2))、((4,\frac{3}{2}))、((5,\frac{6}{5}))、((6,1))。

　　从点的分布特点能整体感知呈曲线形状，所以用光滑曲线连接，画出(y=\frac{6}{x})的函数图像。注意，当(x\gt0)时，随着(x)增大，函数值不断变小，图像呈下降趋势，(x)进一步增大，函数值不断变小，曲线不断渐近于(x)轴，但与(x)轴无交点；(x)越小，(y)值越大，曲线渐近于(y)轴，但与(y)轴无交点。同理，(x\lt0)时，曲线往左侧延伸不断接近于(x)轴，与(x)轴无交点；往右侧延伸与(y)轴不断靠近，与(y)轴无交点。而且曲线由两个部分构成，不相连，因为(x)不能取(0)。大家思考一下，如何说明该函数图像中相邻两点之间不用线段连接呢？