师：好，同学们，今天我们来学习反比例函数的图像与性质。前面一节课，我们已经归纳了反比例函数的图像及其性质，主要从四个方面研究：2K的符号、图像所在象限以及每一个象限内的增减性。如果给定图像，能判断出k的符号大于0，图像在第三象限，在每一个象限内，y随x增大而减小。若给定k的符号，也能画出图像，判断出图像在第二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大。本节课，我们对这些性质和图像本身进行深入研究。

　　下面来看典型例题。例一，已知反比例函数(y = \frac{n + 3}{x})，它的图像在同一象限内，y随x的增大而增大，求n的取值范围。从题目可知，在同一象限内y随x增大而增大，我们知道这个反比例函数的比例系数k应该小于0，也就是这里的n + 3小于0。

　　解：因为在同一象限内，y随x的增大而增大，所以n + 3 ＜ 0，即n ＜ - 3，所以n的取值范围是n ＜ - 3。

　　本题是已知同一象限中函数的增减性，求表达式中字母的取值范围。

　　练习：已知反比例函数(y = \frac{n + 3}{x})图像上的点(A(x_1, y_1))，(B(x_2, y_2))。若(x_1 ＜ 0 ＜ x_2)，则(y_1 ＞ y_2)，求n的取值范围。本题反比例函数表达式含有字母n，通过(x_1 ＜ 0 ＜ x_2)，(y_1 ＞ y_2)这组符号语言，可判断这是不同象限内的点。要满足(y_1 ＞ y_2)，不妨画草图，找到满足条件的(x_1)、(x_2)。由于反比例函数图像要么在二、四象限，要么在一、三象限，要满足后面(y_1 ＞ y_2)，找到符合条件的A点及B点，可判断出该反比例函数图像在二、四象限，那么它的比例系数k小于0。

　　解：因为(x_1 ＜ 0 ＜ x_2)，则(y_1 ＞ y_2)，所以n + 3 ＜ 0，即n ＜ - 3，所以n的取值范围是n ＜ - 3。

　　本题是已知不同象限中两点对应的函数值大小关系，求表达式中字母的取值范围。

　　练习二，已知反比例函数(y = \frac{3}{x})图像上的点(A(x_1, y_1))，(B(x_2, y_2))，(C(x_3, y_3))。若(x_1 ＜ 0 ＜ x_2 ＜ x_3)，求(y_1)，(y_2)，(y_3)的大小关系。本题已知反比例函数表达式及x之间的关系，求(y_1)，(y_2)，(y_3)的大小关系。

　　分析：(x_1 ＜ 0 ＜ x_2 ＜ x_3)，说明(x_1)与(x_2)、(x_3)在不同象限。根据反比例函数图像性质，因为(k = 3 ＞ 0)，所以反比例函数(y = \frac{3}{x})的图像在第一、三象限，第一象限内的点对应的函数值大于第三象限内的点对应的函数值，所以(y_1)最小。同时，同一象限内y随x的增大而减小，所以(y_2 ＞ y_3)，从而得到(y_2 ＞ y_3 ＞ y_1)。

　　方法一是借助函数的性质解决问题，也可以借助图像，画出(y = \frac{3}{x})的图像，在x轴上找到符合条件的(x_1)、(x_2)、(x_3)。(x_1)对应的点是A，过点A向y轴引垂线，找到对应的(y_1)的值，同理得到(y_2)、(y_3)的值，通过在纵轴中的排列，可看出(y_2 ＞ y_3 ＞ y_1)。

　　本题已知反比例函数关系式以及各点对应x值的大小关系，求对应的y值的大小关系，用数或用形的方式，大家可根据掌握情况选择。

　　典型例题，例2，已知反比例函数(y = \frac{k}{x})的图像与一次函数(y = x + 1)的图像的一个交点的横坐标是 - 3，求k的值，并画出这个反比例函数的图像。

　　从条件看，反比例函数表达式未知，一次函数表达式已知为(y = x + 1)，交点横坐标为 - 3。可借助交点横坐标及一次函数表达式求出交点坐标。

　　把(x = - 3)代入(y = x + 1)，得到(y = - 2)。根据题意，反比例函数与一次函数图像的一个交点坐标是(( - 3, - 2))。

　　将(x = - 3)，(y = - 2)代入(y = \frac{k}{x})中，得到(- 2 = \frac{k}{ - 3})，即(k = 6)，函数(y = \frac{6}{x})的图像如右图所示。

　　第2问，根据反比例函数的图像指出当(x ＜ - 1)时y的取值范围。

　　要求(x ＜ - 1)时y的取值范围，先找到(x = - 1)的情形。在x轴上找到点(( - 1,0))，过这个点画一条竖直线，这条竖直线上任意一点横坐标(x)的值都等于 - 1。(x ＜ - 1)就是在这条直线左侧部分，这条直线右侧部分是(x ＞ - 1)。

　　因为对于反比例函数图像，(x ＜ - 1)，找到了蓝色部分。注意，由于(x)不能取 - 1，所以图像此处取空心圆。