师：各位同学，大家好。今天我们一起进行二次根式的复习。首先，请大家回忆一下，在二次根式这一章，我们都学习了哪些知识？

　　生：我们从二次根式的概念出发，研究了二次根式的性质，接着研究了二次根式的运算法则，最后学习了二次根式的应用。

　　师：非常好。在运算法则这一块，我们重点研究了二次根式的乘除以及二次根式的加减。下面请同学们看第一小题：下列式子当中属于二次根式的是哪一个选项？A. 5；B. 三次根号下七；C. 根号 x；D. 根号 32。我们首先回归二次根式的定义，一般形如根号 a（a≥0）的式子，我们把它叫做二次根式。那么，大家来分析一下各个选项。

　　生：选项 A，5 是一个整数，不属于二次根式；选项 B，根指数是 3，不是二次根式；选项 C，缺少 x≥0 这个条件，也不是二次根式；选项 D，根号 32 符合二次根式的定义，是二次根式。

　　师：非常正确。我们选择 D 选项。接下来，请同学们再仔细看这个式子，作为被开方数 a 是大于等于 0 的，而作为根号 a 这个整体，我们可以把它理解为是一个非负数的算术平方根，所以它也是一个非负数。也就是说，二次根式具有双重非负性。根据 a≥0 这个条件，我们就可以来判断一个二次根式是否有意义。下面我们来看第一小题，要使式子根号 x - 1 有意义，x 的取值范围是什么？

　　生：要让它有意义，x - 1 应当大于等于 0，所以 x 应当大于等于 1。

　　师：很好。请看第 2 小题，要使式子 x 分之根号 2 - x 有意义，x 的取值范围是什么？我们先来观察分子，分子是根号 2 - x，它要有意义的话，2 - x 应当大于等于 0，即 x 应当小于等于 2。接下来观察分母，分母有字母 x，它要有意义的话，x 不能等于 0。所以，x 的取值范围应当是 x 小于等于 2，且 x 不等于 0。

　　生：明白了。

　　师：请看第 3 小题，要使式子根号下 x 平方 + 2 有意义，x 的取值范围是什么？

　　生：无论 x 取任何实数，x 的平方永远大于等于 0，所以 x 平方 + 2 永远大于等于 2，二次根式根号下 x 平方 + 2 在实数范围内总是有意义的，x 的取值范围是一切实数。

　　师：非常好。我们再回到二次根式的定义。刚才我们提到二次根式有一条性质叫做双重非负性，除此之外，二次根式实际上还有两个性质。我们先来看第一条性质：一个非负数的算术平方根的平方应当等于它本身，我们可以把它表示为（根号 a）2 = a。再来看第二条性质：根号下 a2 = |a|，当 a≥0 时，原式就等于 a；当 a＜0 时，原式等于 -a。我们可以利用二次根式的这些性质来进行化简。好，请同学们看第二小题：下列二次根式，①根号 18，②根号 2，③根号下 a2 + b2，④根号 1 / 2，⑤根号 1.5，当中最简二次根式有哪几个？

　　生：最简二次根式有②和③。

　　师：非常正确。我们再分别来看一下其他的三个，第一个根号 18，它可以化成 3 根号 2；根号下 1 / 2，我们可以上下同时乘以 2，得到根号 1 / 2 = 二分之根号 2；根号 1.5，实际上就是根号下 3 / 2，所以根号 1.5 = 二分之根号 6。同学们，对于二次根式的乘除法，我们要求最后的结果一定要化为最简二次根式。所谓最简二次根式，应当满足这三个条件：第一，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，比如刚才我们做到的根号 18，就应当把它化成 3 根号 2；第二个条件，被开方数不含分母，比如根号下 1 / 2 应当把它化为二分之根号 2；第三个是分母不含根号，比如根号 1 / 3，我们应当把它化为三分之根号 3。经过化简以后，如果被开方数相同的二次根式，我们就把它叫做同类二次根式。所谓二次根式的加减法法则，实际上就是对同类二次根式进行合并。我们来看下面一个题目，若最简二次根式根号下 10 - a 与根号下 - 2a + 6 是同类二次根式，则 a 等于多少？

　　生：根据同类二次根式的概念，10 - a 应当等于 - 2a + 6，通过计算可得 a 应当等于 - 4。

　　师：很好。请看第 2 小题，若最简二次根式根号下 10 - a 与根号下 1 / 5 是同类二次根式，那么 a 又等于多少呢？

　　生：我们发现根号下 1 / 5 还没有进行化简，先把根号下 1 / 5 化为最简二次根式，可得它就是五分之根号 5，然后 10 - a 应当等于 5，可以求出 a 就等于 5。

　　师：非常好。计算是二次根式这一章当中非常重要的一个内容，请同学们看下面的四个小题目，先思考一下。我们首先来看第一小题，拿到一个式子，我们先来进行观察，根号 12 是可以进行化简的，根号 27 也要进行化简，还有后面的根号下 1 / 3。因此原式就等于根号 3 - 4 根号 3 + 3 根号 3 + 三分之根号 3。请同学们思考一下这一步的依据是什么？

　　生：这是根据二次根式的性质来进行运算的。

　　师：对。接下来我们可以把它写成（1 - 4 + 3 + 1 / 3）×根号 3，这一步的依据是什么呢？

　　生：这是乘法分配律的逆用。

　　师：非常好。最后我们可以算出结果，就等于三分之一根号 3。提醒同学们在进行二次根式的运算的时候，一定要明晰算理和算法。好，请大家看第二小题，这样一个题目。有些同学他是这样算的，把每一部分先进行化简，接下来原式就等于根号 2 × 5 / 2 根号 2 - 根号 2 × 5 分之根号 5 - 5 分之根号 10 × 5 / 2 根号 2 + 5 分之根号 10 × 5 分之根号 5。好，那么接下来对每一步再分别进行运算。第一部分等于 5 / 2，第二部分是 5 分之根号 10，第三部分上下两个 5 可以约去，它就是二分之根号 20，20 可以化成 2 根号 5，约分之后这一块应当就是根号 5，那么最后一部分还要进行运算。所以可得我们最后的结果是 5 - 5 分之根号 10 - 根号 5 + 5 分之根号 2。也有同学是这样进行计算的，他说这两部分相乘的时候，根号外面的归根号外面的算就是 5 / 2，然后根号里面的归根号里面的算。所以第一部分就变成了 5 / 2 根号下 8 × 1 / 2，第二部分就是 2 根号 5 分支根号 8，第三部分 1 乘以 5 就是 5，再乘以根号下里面是 2 / 5 × 1 / 2，最后一部分是根号下 5 × 2 / 5。这时我们对这四部分分别进行计算，可得原式就等于 5 / 2 × 2 - 2 / 10 根号 10 - 5 × 根号下 1 / 5 + 5 分之根号 2。再对我们的结果进行化简，应当说两种计算的方法都可以，同学们可以选择自己比较喜欢的方式来进行计算。但是不论如何，希望大家都能够对运算的法则进行深刻的理解。请看第 3 小题，首先我们观察这个式子，2 根号 5 + 3 根号 2 × 2 根号 5 - 3 根号 2，这让我们想起了平方差公式，它的形式就是（a + b）×（a - b） = a2 - b2，因此原式就等于（2 根号 5）2 - （3 根号 2）2。我们分别计算，前面一部分是 20，后面一部分是 18，所以最后结果等于 2。接下来我们可以对这个平方差公式进行一个拓展，同学们看，现在我把它变成了三项乘以三项的形式。我们来观察一下前后两个括号，前后两个括号当中都有根号 5，在前面一个括号当中有正根号 2、负根号 6 这样的两项，而后面的一个括号当中有负根号 2、正根号 6 这样的两项，所以我们可以把根号 2 - 根号 6 看成是一个整体，使用平方差公式来进行计算，它就等于根号 5 的平方 - （根号 2 - 根号 6）2。这个地方我们又很自然地会想到完全平方公式，（a ± b）2 = a2 ± 2ab + b2，所以我们利用完全平方公式可以对后面进行计算，那么原式就等于 5 - （8 - 4 根号 3）。好，这时我们再把它整理一下，可得结果为 - 3 + 4 根号 3。同学们，我们在进行计算的时候，如果能够用公式的，希望大家能够合理地使用公式，这样会让我们的运算变得更加的简单。当然同学们也可以类比刚才平方差公式这样一个拓展的过程，请思考一下，如果是完全平方公式，我把它的底数变成三项，（根号 5 + 根号 2 - 根号 6）2，那么你会不会算？好，请同学们看第 4 小题这道题目，我发现有同学是这样进行计算的，请同学们仔细看一看这位同学算得对不对？