师：好，同学们好，下面我们开始上课。上一节课我们学习了平行四边形的定义和性质。我们知道平行四边形是一个中心对称图形，它的两组对边平行且相等，两组对角相等，对角线互相平分。按照学习图形的基本思路，学习了定义和性质后，接下来应研究图形的判定。根据已有的学习经验，我们可以从边、角、对角线三个角度来探究平行四边形的判定。今天，我们仅从边的角度来探索平行四边形的判定。

　　同时，我们要学会分析和综合的思考方法，通过举反例的方法来提高自己的批判思维能力。那么从边的角度来看，一个四边形是平行四边形的条件可能有哪些呢？我们最熟悉的是两组对边分别平行。由此思考，我们可以猜想：两组对边分别相等的四边形是不是平行四边形呢？一组对边平行且相等的四边形是平行四边形吗？一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形吗？当然可能还有其他猜想，本节课我们先来探究这四个猜想。

　　第一个猜想其实就是定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，这个我们直接明确。第二个猜想，两组对边分别相等的四边形是平行四边形吗？要证明四边形ABCD是平行四边形，目前我们证明平行四边形的方法只有平行四边形的定义，即要由边相等证明边平行。这里缺少连接的线段，要证两条边平行，我们必须连接AC或者BD，借助内错角相等来证明。

　　而证明这两个内错角相等，就要用到三角形全等的知识。我们只需要证明△ABC全等于△CDA，就可以得到∠1 = ∠2，∠3 = ∠4。于是得到AB平行CD，AD平行BC，再根据定义，就可知它是一个平行四边形。因此，证明时连接AC，先证两个三角形全等，从而得到∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，进而对边平行，所以利用平行四边形的定义证明了刚才的猜想是正确的。这就是我们研究的平行四边形的第一个判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

　　来看第二个猜想，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。按照刚才的思路，要证它是平行四边形，已经有了一组对边平行，那么只需要证另一组对边平行（根据定义）；或者已经有了一组对边相等，借用刚刚得出的判定定理一，只要证另一组对边相等。无论是证AD平行于BC还是AD等于BC，实际上还是需要连接AC，去证明△ABC跟△CDA全等，这个全等的证明跟刚才第一种猜想的证明一样。所以基于上述分析，跟刚才一样证出△ABC全等于△CDA，从而得到BC = AD。因为AB平行且等于CD，AD = BC，所以四边形ABCD是平行四边形。

　　这里老师用的是刚刚得出的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。实际上同学们也可以根据定义判定方法得出这个猜想也是正确的。我们把“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”作为今天这节课的第二个判定定理。

　　再看猜想三，一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形。同样的分析思路，还是要证明两个三角形全等，但由条件并不能证明这两个三角形全等，所以这个猜想是不正确的。比如老师画的四边形ABCD中，AB和CD平行，AD跟BC相等，但它不是平行四边形。所以刚才这个猜想是一个假命题。在数学上，要判断一个命题是假命题，只需要举出一个反例。

　　刚才的反例实际上是一个等腰梯形的模型，等腰梯形满足一组对边平行，另一组对边相等，但它是等腰梯形而不是平行四边形。所以我们从边的角度得到了三种判定方法，一个是定义法，另外两个是判定定理。接下来看它的应用。

　　已知ABCD是平行四边形，要证明BFDE是平行四边形。很明显，BFDE继承了ABCD对边AD跟BC平行的性质，即已经具备了一组对边平行。在这个基础上要证明它是平行四边形，可以选择证明另一组对边平行。根据条件可以证明△ABE全等于△CDF，从而得到∠AEB = ∠CFD。又因为AD平行于BC，所以∠AEB = ∠EBC，最终得到∠CFD = ∠EBC，因此证得BE平行于DF。这样就用两组对边分别平行的四边形证明了它是一个平行四边形，也就是从定义的角度证明了这个结论。

　　当然，在已知一组对边平行的情况下，也可以从两组对边分别相等的角度来证明。跟刚才一样，先证明两个三角形全等，得出BE = DF，也就是对边相等，再利用等式的性质，证得另一组对边也相等。这样用两组对边分别相等的四边形是平行四边形这个判定定理一也能判定。既然能利用等式的性质证出BE = DF，又继承了平行四边形ABCD对边平行的性质，还可以用一组对边平行且相等的方法来证明。