师：同学们好，下面我们开始上课。前两节课我们从边的角度研究了平行四边形的定义、性质和判定，得到了三种判定方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

　　我们来看这个图形，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，能轻松得出最大的四边形ABCD是平行四边形。利用中点，通过全等证明D1与BF相等、B1与DF相等，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可知四边形BEDF是平行四边形。同理，也能证明四边形AECF是平行四边形。由这两个四边形是平行四边形，根据其性质可得BE平行于DF，AF平行于CE，进而得出中间的小四边形EGFH也是平行四边形，这是利用平行四边形的定义判定的。

　　今天我们继续从其他角度探索平行四边形的判定。本节课有两个目标，一是从其他角度探索平行四边形的判定条件；二是会综合运用平行四边形的性质与判定；三是从简单数学例子中体会反证法的含义。

　　上节课从边的角度探索了平行四边形的判定条件，接下来我们可以从角的角度探索，比如猜想两组对角分别相等的四边形是平行四边形吗？也可以从边角结合的角度猜想，像“一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形吗”“一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形吗”。还可以从对角线的角度，借助其性质的应用猜想“对角线互相平分的四边形是平行四边形吗”。今天这节课我们就研究这四个方面的猜想。

　　先看第一个猜想，两组对角分别相等的四边形是平行四边形吗？已知角相等，而上节课证明平行四边形是从边的角度，怎么由角转化成边呢？我们可以借助四边形内角和360度，通过相等关系得到角A加角B等于180度，从而证出对边AD与BC平行，同理可证AB平行于CD，所以四边形ABCD是平行四边形。这是个真命题，但课本没把它作为判定定理，同学们要注意。

　　第二个猜想，一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形吗？已知一组对边平行，从已知角B等于角D的角度，考虑证另一组对边平行比较好。借助两直线平行同旁内角互补的结论，再通过等量代换得到角A加角B等于180度，进而得出AD与BC平行，所以四边形ABCD是平行四边形。这也是个真命题，但课本同样没把它作为判定定理。

　　第三个猜想，一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形吗？要证明猜想是假命题，举个反例就行。在四边形ABCD中，AD与BC相等，角B等于角D，但显然四边形ABCD不是平行四边形，所以这个猜想是错误的。

　　第四个猜想，对角线互相平分的四边形是平行四边形吗？已知四边形中OA等于OC，OB等于OD，要证明它是平行四边形。根据由因得果的策略，OA等于OC，OB等于OD，加上对顶角∠AOB等于∠COD，可得出两个三角形全等，从而证得对边AB与CD相等。同理，证另一对三角形全等，得到对边AD与CB也相等，所以它是平行四边形。经过证明这是个真命题，我们把它作为一个判定定理。具体使用时，因为OA等于OC，OB等于OD，所以四边形ABCD是平行四边形。

　　总结一下，这两节课课本给出的平行四边形判定方法是一个定义，三个定理。前面三个方法从边的角度，分别是对边平行、对边相等、一组对边既平行又相等，加上今天从对角线角度的判定定理。如果题目跟对角线有关，就选择判定定理三；其他情况考虑上面三种方法。下面看例题。

　　在平行四边形ABCD中，AE等于CF，求证四边形BEDF是平行四边形。

　　因为四边形ABCD是平行四边形，且AE等于CF，所以三角形ABE全等于三角形CDF。根据全等可得BE等于DF，即得到一组对边相等。同样道理，选择另外一组三角形全等可得到另一组对边相等，由判定定理一可证明。

　　证得三角形ABE与三角形DCF全等，得到BE等于DF后，还能得到∠AEB等于∠DFC，其补角∠BEF和∠DFE也相等。利用内错角相等得到两直线平行，即BE与DF平行，这样BE与DF既平行又相等，从判定定理二的角度也可证明。

　　这张图中有对角线AC，自然会想连接BD。对于平行四边形ABCD和要证明的四边形BEDF，两条对角线都完整。由平行四边形ABCD可得OA等于OC，OB等于OD，又因为AE等于CF，根据等式性质可证得OE等于OF。所以由判定定理三“对角线互相平分的四边形是平行四边形”也可证明。