师：同学们，今天我们来学习数学活动——画一画，算一算。

　　活动一：如图一，小正方形的边长为1，请画出以A为一个端点的对角线，并求出对角线的长度。我们可以直接连接画出对角线，要求对角线长度，可将AC放到Rt△ABC当中，根据勾股定理，$AC = \sqrt{AB^{2} + BC^{2}} = \sqrt{2}$。

　　如图二，小正方形边长仍为1。请在图中找出以A为一个顶点的所有矩形，并画出以A为一个顶点的所有对角线，再求出对角线的长度。要画出以A为一个顶点的所有矩形，我们可以对矩形进行分类。第一种是邻边相等时，也就是正方形。以A为顶点的正方形，一个边长为1，另一个边长为2。如果邻边不相等，这里有1×2的矩形，包括这边的一个矩形。这样我们就可以画出所有的对角线。

　　下面以AB为例，将AB放到直角三角形ABC当中，根据勾股定理可知$AB = \sqrt{AC^{2} + BC^{2}} = \sqrt{5}$。以此类推，我们可以分别求出：以A为顶点，边长为1的正方形对角线长为$\sqrt{2}$；以A为顶点，边长为2的正方形对角线长为$2\sqrt{2}$；以A为顶点，长为2、宽为1的矩形对角线长为$\sqrt{5}$。

　　如图三，小正方形边长为1。请在图中找出以A为一个顶点的所有矩形，并画出以A为一个端点的所有对角线，求出对角线的长度。

　　要找到以A为一个顶点的所有矩形，同样要对矩形进行分类。第一类是邻边相等的，也就是正方形，这类一共有三个，分别是边长为1、2、3的正方形。然后是邻边不相等的矩形，从图形中可以看出，以A为端点能形成1×2的矩形、1×3的矩形或者2×3的矩形。由此我们可以画出这些对角线，运用勾股定理，将对角线放到直角三角形中求出长度。

　　以A为顶点，边长为1的正方形，对角线长为$\sqrt{2}$；边长为2的正方形，对角线长为$2\sqrt{2}$；边长为3的正方形，对角线长为$3\sqrt{2}$。以A为顶点，长为2、宽为1的矩形，对角线长为$\sqrt{5}$；长为3、宽为1的矩形，对角线长为$\sqrt{10}$；长为3、宽为2的矩形，对角线长为$\sqrt{13}$。

　　根据目前所得，大家可以提出哪些问题呢？比如，能求出这些对角线的长度和吗？要求对角线的长度和，其实就是求这些二次根式的加法运算，大家课后可以去完成。当然，还可以根据这些问题提出更多值得探究的数学问题。在活动一中解决问题时，若存在多种情况，为不重不漏地分析各种情形，我们常常借助分类讨论思想解决问题。

　　数形是研究数学问题的两个视角，它们之间常常是统一的。譬如，在本活动中，矩形的对角线长可以用二次根式表示，这是由形到数的过程。运用勾股定理将矩形的对角线长用二次根式表示。值得提醒的是，$2\sqrt{2}$可以看成边长为1的正方形对角线长的2倍，也可以看成是边长为2的正方形的对角线长，于是可以类推$3\sqrt{2}$、$\sqrt{5}$等等。

　　下面来看活动二：在边长为1的正方形网格中画出下面长度的线段。

　　要画长度为$\sqrt{5}$的线段，根据活动一的解题经验，要尝试找到一个矩形，使它的对角线长等于$\sqrt{5}$。要确定具体大小，就要将5写成两个数的平方和，$5 = 1^{2} + 2^{2}$，所以$\sqrt{5}$可以看成是长为2、宽为1的矩形的对角线长度。由此，我们可以借助网格找到一个1×2的矩形，它的对角线长就是$\sqrt{5}$。

　　再看$\sqrt{17}$，将17写成两数的平方和，$17 = 1^{2} + 4^{2}$，所以$\sqrt{17}$应该是1×4的矩形的对角线，找到1×4这样一个矩形，就可以画出长度为$\sqrt{17}$的线段。

　　$\sqrt{13}$，把13写成两个数的平方和，$13 = 2^{2} + 3^{2}$，因此只要找一个2×3的矩形，其对角线长就是$\sqrt{13}$。

　　对于$\sqrt{8}$，将8写成两个数的平方和，$8 = 4 + 4 = 2^{2} + 2^{2}$，那么只要找到2×2的正方形，它的对角线长就是$\sqrt{8}$。

　　$\sqrt{50}$，将50写成两个数的平方和，$50 = 5^{2} + 5^{2}$，也就是说$\sqrt{50}$正好是5×5的正方形的对角线。先找到一个5×5的正方形，画出它的对角线即可。细心的同学会发现，50也可以写成$1^{2} + 7^{2}$，即$\sqrt{50}$也可以是边长为1和7的矩形的对角线长，所以也可以根据这个来画出$\sqrt{50}$。

　　由此可见，对于一个线段长为二次根式时，我们可以尝试找到一个合适的矩形，其对角线长就是相应的二次根式。通过本活动我们感知到：在本活动中一些二次根式可以看成矩形的对角线长，这是由数到形的过程，再次说明了数形是研究数学问题的两个视角，它们之间常常是统一的。将二次根式看成矩形的对角线长，在这由数到形的过程中，就是找到等式$\sqrt{a} = \sqrt{b^{2} + c^{2}}$（a、b、c都是正整数），在网格中以b、c为边长的矩形，其对角线长即为$\sqrt{a}$。将二次根式看成矩形的对角线长，其中矩形的形状有时是不唯一的，譬如$\sqrt{50}$。