师：同学们，今天我们学习用反比例函数解决问题。某报报道，一村民在清理鱼塘时被困淤泥中，消防队员以门板作船，在泥沼中救人。根据生活经验，我们知道，消防队员以门板作船在泥沼中救人时，门板面积越小，越容易陷入泥沼；门板面积越大，越难以陷入泥沼。

　　从物理学知识可知，当人和门板对淤泥的压力$f$牛顿确定时，人和门板对淤泥的压强$p$（帕斯卡）与门板面积$s$（平方米）成反比例函数关系，即$p = \frac{f}{s}$。基于这个实际情境，我们来设计一些问题。

　　如果人和门板对淤泥地面的压力合计$900$牛，设人和门板对淤泥的压强为$p$（帕斯卡），门板面积为$s$（平方米），则$p = \frac{900}{s}$。若门板面积是$3$平方米，即$s = 3$平方米，将其代入关系式，可求出$p$的值。把$s = 3$代入$p = \frac{900}{s}$，得$p = \frac{900}{3} = 300$，所以人和门板对淤泥的压强是$300$帕斯卡。

　　第二个问题，若淤泥承受的压强不能超过$600$帕斯卡，求门板面积至少要多大。已知$p$不能超过$600$帕斯卡，即$p \leq 600$帕斯卡，现在要求面积的取值范围。由第一问可知$p = \frac{900}{s}$，把$p = 600$代入关系式$p = \frac{900}{s}$，得到$600 = \frac{900}{s}$，从而求得$s = 1.5$。这个$s = 1.5$是不是条件中“至少”的值呢？根据反比例函数的性质，$p$随着$s$的增大而减小。当$p \leq 600$帕斯卡时，$s$应该是大于等于$1.5$，所以门板面积至少要$1.5$平方米。这里我们先根据函数表达式求出对应的自变量的值，再根据函数的性质得到自变量的取值范围，从而解决问题。大家思考一下，还有其他方法解决该问题吗？

　　我们先求出临界值，将$p = 600$代入函数关系式，求出$s = 1.5$。关键是要确定这个$s = 1.5$是不是最小值。考虑到函数的特殊性，我们可以画出$p$和$s$的函数图像。画出图像后会发现，随着$s$的增大，$p$的值在变小，于是可以得到点$(1.5, 600)$。要使$p \leq 600$帕斯卡，对应的函数图像应该是在点$(1.5, 600)$右侧的部分，那么对应的$s$的范围就是$s \geq 1.5$。由此观察图像可知，当$p \leq 600$时，$s \geq 1.5$，所以门板面积至少要$1.5$平方米。本题根据函数表达式求自变量的值，然后观察函数图像，依据因变量的取值范围得到自变量的取值范围，从而解决问题。

　　在日常生活、生产活动中，反比例函数有着广泛的应用。比如，为什么使劲踩气球会爆炸呢？在温度不变的情况下，气球内气体的压强与它的体积呈反比例函数关系。使劲踩气球，气球内气体体积变小，压强增大到足够大时，气球就会爆炸。根据这个知识，我们来设计一个数学问题。某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强$p$（帕斯卡）是气球体积$v$的反比例函数。当$v = 1.5$立方米时，$p = 16000$帕斯卡。这样我们就可以求出这个反比例函数关系式。现在提出问题：当$v = 1.2$立方米时，求$p$的值，也就是给出自变量的值求因变量的值，显然只要将$v = 1.2$代入函数关系式就能求出因变量$p$的值。

　　解：设$p$与$v$的函数表达式为$p = \frac{k}{v}$（$k$为常数，$k \neq 0$）。把$p = 16000$，$v = 1.5$代入$p = \frac{k}{v}$，得到$16000 = \frac{k}{1.5}$，解得$k = 24000$。当$v = 1.2$时，将$v = 1.2$代入函数关系式$p = \frac{24000}{v}$，得到$p = \frac{24000}{1.2} = 20000$。本题中，当函数表达式已知时，若自变量确定，则可以求出因变量；若因变量确定，也可以求出自变量，其本质就是以函数表达式为等量关系建立方程，从而解决问题。