师：好，同学们好。还记得上节课留的问题吗？菱形和矩形的公共部分是什么图形？请同学们尝试画一个既是矩形又是菱形的四边形。

　　既是矩形又是菱形，画出来的图形会是什么样子呢？老师画出来的是这样一个图形，是正方形。相信同学们也画出了正方形。矩形是有一个角是直角的平行四边形，菱形是有一组邻边相等的平行四边形，也就是说，正方形是有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形。这就是正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形，叫做正方形。那么，矩形如果有一组邻边相等，它就是个正方形，也就是说，正方形是有一组邻边相等的矩形。

　　再看菱形，当它有一个角是直角时，就可以变成正方形，也就是说，有一个角是直角的菱形就是正方形。这样，我们可以用下面这张图来表示学过的平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系。从图中能清楚直观地看出，正方形既是特殊的菱形，也是特殊的矩形。因此，正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质。我们一起来归纳一下。前面学习矩形和菱形的性质，是通过研究它们的边、角、对角线、对称性这四个方面，探究正方形的性质也从这四个方面入手。首先，正方形的边具有什么性质？它四条边相等，四个内角都是直角，对角线相等且互相垂直平分。正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形。

　　我们来看，正方形是中心对称图形，在一个平面内绕着某一个点旋转180度后与自身完全重合。看，这个正方形绕着某个点旋转180度后，确实和自身完全重合了，它的对称中心在哪里呢？对，它的对称中心就是两条对角线的交点。再看，正方形也是轴对称图形，它的对称轴在哪里？很明显，它的对称轴就是两组对边的垂直平分线和两条对角线所在的直线。

　　我们利用这个知识来回答两个问题。如图，在正方形ABCD中，一条对角线把它分成几个全等的三角形？我们很容易发现，一条对角线可以把它分成两个全等的三角形，即三角形ADB和三角形BCD。

　　那么这些三角形是什么三角形呢？因为正方形的每个内角都是90度，所以角A和角C都是90度，正方形的边都相等，所以三角形ADB和三角形CDB都是等腰直角三角形。我们再来看第二个问题，两条对角线把这个正方形分成几个全等的什么三角形呢？很快就能得到答案，是分成了四个全等的等腰直角三角形。因为正方形的对角线互相垂直平分并且相等，所以图中的三角形AOD、三角形DOC、三角形BOC和三角形AOB都是全等的等腰直角三角形。

　　好，我们利用刚才的结论来解决这个例题。正方形的面积为64平方厘米，则正方形对角线的长为多少？大家思考一下。

　　根据以前学的知识，面积是64平方厘米，那么这个正方形的边长应该等于8厘米。在Rt三角形ADB中，我们可以利用勾股定理算出线段DB的长度是$8\sqrt{2}$厘米，很简单吧。

　　我们来个变式训练。在正方形ABCD中，对角线BD等于10厘米，P是线段AD上的任意一点，PE垂直AC，PF垂直BD，求PE + PF的和是多少？大家思考一下。

　　同学们，在这个正方形ABCD中，我们知道它的两条对角线互相垂直、相等且互相平分。因此，三角形AOD是一个等腰直角三角形，所以角ADO等于45度。

　　那么，同学们再思考一下，这里面的三角形PFD是个什么三角形呢？有同学说了，也是一个等腰直角三角形。为什么呢？因为题目中有条件告诉我们PF垂直DB，所以角PFD等于90度，因此这里面的角FPD也是45度，所以这个三角形是等腰直角三角形。因此，我们可以得到边PF等于边DF。又因为题目中的条件告诉我们，PF和PE分别垂直DB和AC，而两条对角线互相垂直，因此在四边形PFOE中有三个角是直角。根据以前学过的矩形判定方法，有三个角是直角的四边形是矩形，因此PE就等于OF。

　　同学们，这样一来，我们要求的PE + PF就转化成了DF + OF，也就是DO的长度。DO就是对角线长度的一半，所以答案是等于5厘米。

　　大家学会了吗？同学们，在正方形中的很多问题，我们往往是通过把它转化成等腰直角三角形的问题来解决的。刚才我们一起研究了正方形的定义和性质，接下来我们要来学习它的判定。根据以前的经验，正方形的定义也可以作为正方形判定的依据。那除此以外还有没有其他的判定方法呢？我们一起来看一下。

　　我们知道矩形只要有一组邻边相等，它就是一个正方形，因此可以说，有一组邻边相等的矩形就是正方形，这就是我们今天学习的正方形判定定理一。而一个菱形，当它有一个角是直角的时候，它就是正方形，所以可以说，有一个角是直角的菱形是正方形，这就是我们学习的正方形判定定理二。其实，我们还可以根据定义来推理出这两个判定定理。看，有一个角是直角的平行四边形是什么图形？对了，就是矩形，因此得到有一组邻边相等的矩形叫做正方形。再看，有一组邻边相等的平行四边形是什么图形呢？对，是菱形，所以有一个角是直角的菱形就是正方形，所以这两个判定定理可以从定义中推理出来。

　　接下来我们来填空。一个平行四边形，如果是矩形，要得到正方形，还要添一个什么条件？很简单，添有一组邻边相等。那么一个平行四边形，如果它已经是菱形，还要添一个什么条件可以得到它是个正方形？我们可以添有一个角是直角这个条件。那如果一个平行四边形，要直接得到它是一个正方形，要填什么样的条件呢？根据定义，要添有一组邻边相等，并且有一个角是直角这个条件。

　　因此我们小结一下正方形的判定方法，如果它是个矩形，那么只要添加一组邻边相等的条件；如果它是个菱形，我们添加有一个角是直角的条件；如果它是个平行四边形，我们就添加有一组邻边相等，并且有一个角是直角的条件。