师：同学们，今天我们一起学习第十章小结与思考，一一复习回顾。首先来看一个实际问题，甲乙两人两次同时在一家粮店购买大米，两次大米价格分别为每千克(a)元和(b)元，(a\neq b)。甲每次购买(100)千克大米，乙每次购买(100)元大米。第一个问题，用含(a)、(b)的代数式表示，甲两次购买大米共需付款多少元？乙两次共购买多少千克大米？

　　生：甲每次买(100)千克，每千克分别为(a)元与(b)元，所以甲两次购买大米共需(100a + 100b = 100(a + b))元。

　　生：乙每次买(100)元大米，每千克分别为(a)元和(b)元，所以乙第一次买了(\frac{100}{a})千克大米，第二次买了(\frac{100}{b})千克大米，乙两次共购买(\frac{100}{a} + \frac{100}{b})千克大米。

　　师：问题二，若规定谁两次购粮的平均价格低，谁购粮的方式就更合理。请判断比较甲乙两人的购粮方式哪一个更合理，并说明理由。

　　生：平均价格是总付出的钱数除以总千克数。甲总付款(100(a + b))元，购买总千克数是(200)千克，所以甲两次购买大米的平均价格为每千克(\frac{100(a + b)}{200} = \frac{a + b}{2})元。

　　生：乙一共花(200)元，购了(\frac{100}{a} + \frac{100}{b})千克大米，所以乙两次购买大米的平均单价为每千克(200\div(\frac{100}{a} + \frac{100}{b}))，化简后是(\frac{2ab}{a + b})元。

　　师：接下来比较(\frac{a + b}{2})和(\frac{2ab}{a + b})的大小，我们用作差法。将(\frac{a + b}{2} - \frac{2ab}{a + b})进行运算，可得(\frac{(a + b)^2 - 4ab}{2(a + b)})，继续化简等于(\frac{(a - b)^2}{2(a + b)})。由于(a\neq b)，这个做差结果大于(0)，也就是(\frac{a + b}{2} > \frac{2ab}{a + b})，乙购买的平均价格更低，所以乙更合理。

　　师：通过这个实际问题，大家应感受到分式和整式一样，是表示实际问题中数量关系的有效方式。通过分式运算，能解决或解释一些实际问题。接下来从知识结构看，实际问题中的相关数量关系可用分式表示。分式通过类比分数得到基本性质，利用基本性质可对分式通分、约分，进行加减乘除混合运算。通过分式运算可解释实际问题，下面看例题。

　　例一：当(x)为何值时，（1）分式(\frac{x + 2}{x - 1})有意义、无意义；（2）分式(\frac{x + 2}{x - 1})的值为(0)。

　　生：要分式(\frac{x + 2}{x - 1})有意义，需分母(x - 1\neq0)，所以(x\neq1)。

　　生：要分式无意义，就是分母(x - 1 = 0)，所以(x = 1)。

　　生：要分式的值为(0)，需分子为(0)且分母不为(0)，即(x + 2 = 0)且(x - 1\neq0)，所以(x = - 2)。

　　师：小结，对于分式(\frac{a}{b})（(a)、(b)表示两个整式，且(b)中含有字母），分式有意义的条件是分母不为(0)；分式无意义的条件是分母为(0)；分式值为(0)的条件为分子为(0)且分母不为(0)。变式：当分式(\frac{x + 2}{x - 1})的值为正数，求(x)的取值范围。

　　生：可将分式理解成((x + 2))与((x - 1))的除法运算，根据除法运算符号判别法则，两数相除，同号得正，异号得负。所以当分式值为正数时，(\begin{cases}x + 2 > 0 \ x - 1 > 0 \end{cases})或(\begin{cases}x + 2 < 0 \ x - 1 < 0 \end{cases})，分别解这两个不等式组，得到(x > 1)或(x < - 2)。

　　例二：分式(\frac{3}{x - 1})的值为整数，求整数(x)的值。

　　生：可理解成(3)是((x - 1))的整数倍，所以(x - 1)的值可以是(\pm1)，(\pm3)，解得(x)的值是(0)，(2)，(-2)，(4)。

　　师：变式一，分式(\frac{x + 2}{x - 1})的值为整数，求整数(x)的值。这个问题与刚刚的区别是分子从常数(3)变成(x + 2)。

　　生：用转化思想，利用同分母分式加法法则，将分子(x + 2)写成((x - 1) + 3)，逆用同分母分式加法法则可写成(\frac{x - 1}{x - 1} + \frac{3}{x - 1} = 1 + \frac{3}{x - 1})。要式子为整数，就是要(\frac{3}{x - 1})为整数，根据例二可得(x)的值可以是(0)，(2)，(-2)，(4)。

　　师：已知(\frac{x + 2}{x - 1} = 1 + \frac{m}{x - 1})，求(m)的值。

　　生：根据变式一的过程及结论，(m = 3)。

　　生：还可以这样，对(1 + \frac{m}{x - 1})进行运算，(1 + \frac{m}{x - 1} = \frac{x - 1 + m}{x - 1})。因为(\frac{x + 2}{x - 1} = \frac{x - 1 + m}{x - 1})，两个分式相等，分母相等则分子相等，所以(2 = - 1 + m)，可得(m = 3)。

　　师：变式三，已知(\frac{2x - 4}{(x - 1)(x - 2)} = \frac{a}{x - 1} + \frac{b}{x - 2})，求两个待定系数(a)和(b)的值。

　　生：将等式右边进行异分母分式加法，(\frac{a}{x - 1} + \frac{b}{x - 2} = \frac{(a + b)x - (2a + b)}{(x - 1)(x - 2)})。因为(\frac{2x - 4}{(x - 1)(x - 2)} = \frac{(a + b)x - (2a + b)}{(x - 1)(x - 2)})，分母相同则分子相同，所以可得(\begin{cases}a + b = 2 \ 2a + b = 4 \end{cases})，解得(a = 1)，(b = 2)。

　　生：还可以通过给(x)赋值，取(x = 3)、(x = 4)分别代入，得到方程组(\begin{cases}\frac{a}{2} + b = \frac{5}{2} \ \frac{a}{3} + \frac{b}{2} = \frac{4}{3} \end{cases})，同样可得(a = 1)，(b = 2)。

　　师：从基本性质角度理解分式加减法，利用分式分子、分母同乘以一个不为(0)的整式分式的值不变来通分，将异分母分式化成同分母分式，在此基础上进行同分母、异分母分式加减。接下来复习分式混合运算。

　　例三：计算（1）(\frac{3}{4y} \times x^2 \times \frac{4}{3y} + \frac{x^2}{2y^2} \div \frac{2y^2}{x})

　　生：先算乘方并将除法转变成乘法，再进行乘法运算，得到(\frac{3x^3}{4y} + \frac{x^3}{4y^4})，异分母分式相加，通分后相加。

　　（2）(\frac{a^2 - a - 1}{2a - 1} \div \frac{2}{a^2 - a})

　　生：先算括号里的，把减(a - 1)看成减去(\frac{a + 1}{1})，因为分数线的分子是整体，加分母为(1)相当于加带负号括号，每一项要变号。然后进行通分加法，括号里算完再和括号外进行乘法运算，能约分的要约分，最后的结果是(\frac{a}{2})。

　　师：小结，分式混合运算，先乘方，后乘除，最后算加减。有括号先算括号里面的，同级运算按从左到右顺序进行。约分是根据分式基本性质(\frac{a}{b} = \frac{a\div c}{b\div c})（(c\neq0)），利用此性质约分，进而进行分式乘除运算。掌握分式加减和乘除运算，就能准确进行分式混合运算。注意，分式混合运算结果要化为最简分式或整式。

　　例四：化简求值((\frac{a^2 - 4}{a^2 - 4a + 4} - \frac{1}{2 - a}) \div \frac{2}{a^2 - 2a})，选择一个喜欢的(a)的值代入求值。

　　生：先对原式化简，括号里第一个分式分子分母可因式分解、约分化简，化简成(\frac{a + 2}{a - 2})，把(-\frac{1}{2 - a})写成(+\frac{1}{a - 2})，化成同分母分式。括号里算出来是(\frac{a + 3}{a - 2})，和外面分式乘法运算，得到结果(\frac{a(a + 3)}{2})。

　　师：我选(a = 1)代入，原式等于(2)。请问同学们，是不是所有(a)的值都能代？

　　生：不是，(a)不能取(2)，也不能取(0)，因为所取(a)要使所有分式分母不为(0)，且作为除式的分式不为(0)。

　　师：如果将(a)满足的条件改成(a^2 + 3a - 10 = 0)，还会做吗？

　　生：化简结果分子是(a(a + 3))，乘开就是(a^2 + 3a)，利用整体思想，将化简结果写成(\frac{a^2 + 3a}{2})，再将(a^2 + 3a = 10)代入，得到结果是(5)。

　　师：本题小结，分式化简求值时，字母取值要注意分式分母不能为(0)，也不能使除式的值为(0)。字母值未直接给出时，需结合已知条件求出，或考虑整体代入等方法解决问题。

　　例五：已知(ab = 1)，试求(\frac{a}{1 + a} + \frac{b}{1 + b})的值。

　　生：解法一，将(\frac{a}{1 + a})和(\frac{b}{1 + b})进行加法运算，结果分子分母都出现(ab)，将(ab = 1)整体代入，得到原式分子分母都是(\frac{a + b + 2}{a + b + 2})，结果是(1)。

　　生：解法二，发现代数式中有(1)，将(ab = 1)代入，得到(\frac{a}{ab + a} + \frac{b}{1 + b})，第一个分式化简为(\frac{1}{b + 1})，最后计算结果还是(1)。

　　生：解法三，因为(ab = 1)，(a)与(b)有关系，用(\frac{1}{b})代替(a)，化简结果依然是(1)。

　　师：小结，解法一、解法二采用整体代入思想，解法三采用代入消元思想。解法一先计算后代入，解法二、解法三先代入后计算，希望同学们灵活运用。

　　课堂小结：本节课带领大家复习了什么是分式，分式有意义、分式值为(0)的条件，以及分式混合运算的依据，希望大家有所收获。这节课到此结束。