师：同学们，前面我们学习了反比例函数及其图像与性质，还有反比例函数的应用。今天我们来做个复习回顾和热身练习。先看这道题，下列函数中是反比例函数的是哪个？a选项，y - $\frac{1}{x}$ = 3，将其变形为y = 3 + $\frac{1}{x}$，对照反比例函数的定义，它显然不是。b选项，5x + 4y = 0，变形为y = - $\frac{5}{4}$x，y和x是正比例函数关系。c选项，xy - $\sqrt{3}$ = 0，变形为y = $\frac{\sqrt{3}}{x}$，c选项是反比例函数。d选项，y和x不是反比例关系，y与x + 3才是反比例关系，所以本题选c选项。

　　在完成这道热身训练题的过程中，我们回顾一下反比例函数的基本概念。一般形如y = $\frac{k}{x}$（k为常数，k ≠ 0）的函数，叫做反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数，k是比例系数。反比例函数一般有三种表现形式：第一种，y = $\frac{k}{x}$（k ≠ 0），和定义一致；第二种，xy = k（k ≠ 0），这种形式最难反映反比例函数本质，即自变量和因变量乘积为定值时，是反比例函数关系；第三种，y = kx?1（k ≠ 0），这是借助数学知识换了种形式。判断是否为反比例函数，把相应函数变形后与概念比对就行。

　　借助这个概念，我们来看这样的问题。比如，若y = (a - 1)x??2是反比例函数，求a的值。分析这个函数关系式，它和第三种形式最接近。比对式子结构，a - 1对应k， - a2对应 - 1。根据题意可得 - a2 = - 1，且a - 1 ≠ 0，解得a = - 1。

　　再比如，已知y与x + 2成反比例，且x = 2时，y = 5，求y与x的函数关系式。注意，这里y是与x + 2这个整体成反比例，也就是y和x + 2的乘积是定值。习惯设y = $\frac{k}{x + 2}$，把x = 2，y = 5代入关系式，得5 = $\frac{k}{4}$，解得k = 20，所以y与x的函数关系式是y = $\frac{20}{x + 2}$。

　　这里我们根据已知关系设出函数关系式，把已知条件代入求待定系数，进而求得函数关系式，这种方法叫待定系数法求函数关系式，在函数学习中经常用到。

　　来看热身练习2，函数y = - $\frac{3}{x}$，它是反比例函数，其中k = - 3，其图像为双曲线，位于第二、四象限，在每一个象限内y随x的增大而增大。

　　回顾一下探究反比例函数图像的一般过程。首先由数想形判断大致特点，以y = - $\frac{3}{x}$为例，因为k = - 3是定值，x和y异号，所以符合函数关系式的点横纵坐标异号，图像只能在二、四象限。又因为x不能取0，y也不能为0，所以图像不经过原点。当x取互为相反数的两个数时，对应的y值也互为相反数，可得图像具有中心对称性。通常先由数想形整体感知，再列表、描点、连线，精准画出函数图像，观察多个图像归纳出反比例函数图像的性质。通过热身训练知道，反比例函数y = $\frac{k}{x}$（k为常数，k ≠ 0）的图像是双曲线。当k > 0时，双曲线两支分别在第一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k < 0时，双曲线两支分别在第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大。

　　基于这个知识点，来看练习。老师从苏科版教材八年级下册第145页选了个思考题，函数y = $\frac{2}{x + 1}$的图像与反比例函数y = $\frac{2}{x}$的图像有什么关系？解决这个问题有两种方法。第一种，通过列表、描点、连线画出两个函数图像，观察关系得出结论。第二种，根据数学式子比较取值特征，得到点的对应特征，进而得出函数图像关系。这两个函数分子都是2，分母相差1，即第一个函数自变量x取值比第二个函数自变量x取值小一个单位时，两个函数值相等，对应到点就是横坐标相差一个单位，纵坐标相等。所以将函数y = $\frac{2}{x + 1}$的图像向右平移一个单位，就得到y = $\frac{2}{x}$的图像。大家课后可以思考y = $\frac{k}{x}$与y = $\frac{k}{x + m}$ + n之间的关系。

　　再看这道对反比例函数性质考察的题。已知函数y = $\frac{2k - 4}{x}$，在每一象限内，y随x的增大而减小，求k的取值范围。要使y随x增大而减小且强调在每一个象限内，那么2k - 4 > 0，解得k > 2，所以k的取值范围是k > 2。这里提醒大家，表述反比例函数性质时，y和x的增减性一定要强调在各象限内y随x的增大而增大或减小，也可以说明不在同一个象限内y和x的函数值关系，同样能求出k的取值范围。

　　老师给出一个函数，让甲乙各指出这个函数的一个性质。甲说第一、三象限有它的图像，在一次函数和反比例函数中，当k > 0时都符合。乙说在每个象限内y随x的增大而减小，一次函数k > 0时，y随x增大而增大，与乙说的相悖，所以肯定不是一次函数，这里可以列举反比例函数，且比例系数k > 0，比如y = $\frac{3}{x}$。

　　看这道练习，如图，A、C是函数y = $\frac{1}{x}$图像上任意两点，过A点作AB垂直x轴于B，过C作CD垂直y轴于点D，设三角形AOB的面积为S?，三角形COD的面积为S?，判断S?和S?的关系。设A点横坐标为a，纵坐标就是$\frac{1}{a}$，可求出三角形AOB的面积等于$\frac{1}{2}$。同理，三角形COD的面积也等于$\frac{1}{2}$，所以S? = S?。由这个热身训练回顾一个基本知识，反比例函数图像上任意一点向坐标轴引垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形面积是|k|，热身训练中三角形面积是矩形面积的一半，即$\frac{1}{2}$|k|，k确定时，三角形面积确定。

　　平面直角坐标系内，反比例函数图像上有两点A(2, 3)和B(6, a)，求三角形AOB的面积。已知A点坐标(2, 3)，可求出反比例函数关系式。把B点坐标代入关系式求出a的值，B点坐标就确定了。求三角形AOB的面积用化斜为直的切割法。设反比例函数关系式为y = $\frac{k}{x}$，因为过点A(2, 3)，代入表达式求出函数关系式为y = $\frac{6}{x}$。把B点代入y = $\frac{6}{x}$，求得a = 1。过点A向x轴、y轴引垂线，将三角形AOB的面积转化为用大的五边形ACODB的面积减去三角形ACO和三角形BOD的面积。详细分析过程：五边形面积又分割为矩形ACOH的面积和梯形AHDB的面积，最终求出三角形AOB的面积等于4。当然，本题也可以用割的方式求三角形AOB的面积，计算过程中发现三角形AOB的面积等于梯形AHDB的面积。

　　来看综合运用题。某商场出售一批进价为2元的贺卡，日销售单价x元与日销售量y有如下关系：x取3、4、5、6时，y分别为20、15、12、10。第一问，求销售量y与销售单价x之间的函数关系式。观察表格发现数据都满足xy = 60，所以函数关系式是y = $\frac{60}{x}$。第二问，假设经营此贺卡的销售利润为w元，求w与x之间的函数关系式。物价局规定贺卡售价最高不能超过10元每个，求当日销售单价x定为多少时，能获得最大日销售利润。这里涉及销售利润、售价、销售单价、销售量几个量，销售利润 =（售价 - 进价）× 销售量。根据题意得w = (x - 2)y = 60 - $\frac{120}{x}$。因为x ≤ 10且x > 0，对于函数z = - $\frac{120}{x}$，根据图像可得z ≤ - 12，所以w ≤ 50。由此可知当日销售单价定为10元时，能获得最大日销售利润。

　　本题有两个难点，一是从问题中提炼具体量得到函数模型，二是这个模型不是标准反比例函数模型，要取其中一部分分析，借助函数图像或性质解决问题。

　　好，通过本节课学习，大家有哪些收获呢？第一，知道研究函数的一般路径，先研究基本概念，再研究图像与性质，最后研究应用。研究图像与性质画图像时，先由数想形根据式子特点得图像特点，再经历列表、描点、连线得到函数图像。第二，回顾了反比例函数章节知识。第三，模型思想、数形结合思想等是解决函数问题的常用思想方法。好，本节课到此结束。