师：同学们大家好，欢迎来到今天的空中课堂。前面我们用四节课时间学习了第八章认识概率，今天这节课，我们来进行小结与思考。首先，请同学们按下暂停键，花几分钟浏览课本，回顾本章所学内容。

　　好，接下来思考一组问题，这组问题是我们在本章起始课抛出的3个问题，当时未解决，学完这一章后，现在能否回应呢？请同学们按下暂停键，回看题目并思考。

　　我们先看第一个问题：在抛硬币之前，能猜出是甲队先开球还是乙队先开球吗？很显然不能。因为抛掷质地均匀的硬币，正面朝上还是反面朝上是随机事件，事先无法确定谁一定会发生。有关随机事件的学习，我们是在8.1节进行的。

　　再看第二个问题：这个规则对两队公平吗？为什么？题干描述，如果硬币正面朝上，甲队先开球；反面朝上，乙队先开球。这个规则对两队是公平的，因为硬币正面朝上和反面朝上发生的可能性大小相等。通过试验，我们估计这两个事件发生的概率都为0.5，这是我们在第二节和第三节学习后得出的。

　　接着看第三个问题：如果将硬币换成其他工具，比如一个6个面上分别标有数字1 - 6的质地均匀的正方体骰子，或者一个图钉，可以吗？在第三节学习后我们知道，换成正方体骰子是可以的。例如规定抛掷质地均匀的正方体骰子，向上一面为奇数，甲队先开球；向上一面为偶数，乙队先开球。这两个事件发生的概率相等，具有公平性。但是换成图钉却不可以，因为图钉质地不均匀，钉尖着地和钉尖不着地的概率不一样，以此作为决定哪方先开球的工具不具有公平性。

　　刚才我们只是零散回顾了几个知识点，作为复习课，很重要的任务是梳理这一章的知识点。请同学们按下暂停键，自己先梳理一遍。

　　好，同学们梳理完了吗？老师也做了一个梳理，我们一起来看。这章首先介绍了事件，事件可分成两大类：确定事件和随机事件。其中确定事件又包含必然事件和不可能事件。从事件接着往下，研究的是事件发生可能性的大小，从定性和定量两个角度。在定量角度，我们引入了一个量叫概率。如果把这个事件记为A，那么P(A)就表示事件A发生的概率。我们规定，必然事件发生的概率为1，不可能事件发生的概率为0，随机事件发生的概率是0到1之间的一个数。

　　那如何获得概率呢？这一章我们主要介绍的方法是通过试验。在试验中会得到一个量叫频率，频率具有随机性和稳定性的特点。当大量重复进行同一试验后，随机事件的频率会在某一个常数附近摆动并趋于稳定，这个常数我们就用来估计概率，这也是频率和概率的联系。当然，频率和概率是两个不同的量，频率具有随机性，概率具有确定性。

　　同学们看这张知识框图，本章所学知识点便尽收眼底。同学们在学习过程中，也要养成及时梳理、及时巩固的习惯。

　　好，接着我们来做一组题。

　　第一题，下列事件中随机事件是，请同学们按下暂停键自己判断。要回答这个问题，需对四个事件逐一分析。

　　第一个事件：任意画一个三角形，其内角和为181度。我们知道三角形内角和是180度，不可能有三角形内角和为181度，所以这是一个不可能事件。

　　第二个事件：如果a、b都是实数，那么a + b = b + a，因为这符合加法交换律，所以这个事件是必然事件。

　　第三个事件：任意取两个正整数，其和大于5。因为正整数是大于或等于1的数，两个正整数的和可能大于5，比如1 + 6 = 7大于5；也可能刚好等于5，比如1 + 4 = 5；还有可能小于5，比如1 + 2小于5，所以这个事件是随机事件。

　　第四个事件：长分别为3、5、9厘米的三条线段能围成一个三角形。我们知道三条线段要围成一个三角形，必须符合三角形三边关系，即任意两边之和大于第三边，但这里3 + 5小于9，不符合三角形三边关系，所以这个事件是不可能事件。

　　所以，这里随机事件是3。如果这道题再追问，确定事件是哪些呢？我们回顾事件知识点时说过，事件包含随机事件和确定事件，所以剩下的1、2、4都是确定事件。这道题考察的是事件的分类，要分清楚事件，关键是在事先对其发生情况做出准确判断。

　　好，再来看第二题，请同学们按下暂停键，先独立完成。答案是：豆子落在A区域的可能性最大，C区域的可能性最小。

　　我们来分析一下，豆子落在某区域的可能性大小与区域面积占总面积的比值有关，比值越大，可能性越大；比值越小，可能性越小；比值相等，可能性相等。如何得到这个比值呢？我们发现总面积相等，比较比值大小，其实只要比较各区域面积大小。从图中看到，A、B两个区域是圆环，求面积用做差法，C区域是圆面，用圆的面积公式来求。如果用S来表示面积，那么$S_A = 6^2\pi - 4^2\pi = 20\pi$，$S_B = 12\pi$，$S_C = 4\pi$。这样可以比较出$S_C < S_B < S_A$，所以结论是豆子落在A区的可能性最大，落在C区的可能性最小。

　　做完这道题，让我们想起在第二节学可能性大小时，说过比较随机事件可能性大小有两种方法，一种是通过频率来估计，一种是通过分析符合条件的情况占总情况的比值，这道题显然是后者。当然，在这道题中求比值用了一些技巧，大家也要掌握好。

　　再来看第三题，请同学们做出选择。这道题正确答案应该是D。

　　我们先看D选项：抛掷一枚质地均匀的6个面上分别刻有1 - 6点数的正方体骰子，朝上的点数是6的概率为$\frac{1}{6}$，表示随着抛掷次数的增加，抛出朝上的点数是6这一事件发生的频率稳定在$\frac{1}{6}$附近。我们前面讲到频率和概率的联系时说过，当试验次数足够大时，频率会在一个常数附近摆动，这个常数就可作为概率的估计值。现在先得到概率为$\frac{1}{6}$，反过来推，试验次数足够大时，频率就在$\frac{1}{6}$附近稳定，所以这里考察的是频率与概率的联系，频率具有稳定性，这个选项是对的。

　　再看A选项：实心铁球投入水中会沉入水底，发生的概率为0。我们知道铁的密度大于水的密度，这是一个必然事件，必然事件发生的概率应该是1，所以这里概率为0是错的。

　　B选项：明天早晨太阳从西边升起，发生的概率为1。这是一个不可能事件，不可能事件发生的概率应该是0，所以这里也是错的。

　　C选项：若某次摸球活动中奖的概率是$\frac{1}{5}$，则摸5次一定会中奖。前面讲的概率具有确定性，但后面摸5次是实际操作，具有随机性，不能说一定中奖，只能说可能中奖，所以C选项也是错的。这道题你答对了吗？

　　刚才知识框图涉及的是基础知识、基本技能，这一章学习过程中还有个特点，就是基本活动很多。我们做了多个试验，收集、整理、描述数据，特别是频率这个数据算得很多，我们用频率来估计概率，在这个过程中还发展了我们的随机观念和数据分析观念，这都非常重要。

　　好，接下来升级，运用我们掌握的基础知识、基本技能以及积累的经验来探究新问题。还是选择摸球背景。

　　一只不透明的袋子中装有3个红球，2个绿球，这些球除颜色外完全相同。首先有两个问题，请同学们按下暂停键回答。

　　第一个问题是事件的分类，答案是：必然事件是3，随机事件是1，不可能事件是2。

　　第二个问题：如果从袋中任意摸出一个球，摸到什么颜色的球可能性大？这里红球3个，绿球2个，所以摸到红球的可能性大。怎样改变袋子中红球、绿球的个数，使摸到这两种颜色球的概率相等呢？要保证概率相等，就是要保证两种球的个数相等。方法很多，比如增加一个绿球，或者减少一个红球等等，关键是保证两种颜色球的数量相等，这是一般性归纳。

　　好，再看第三个问题：如果将每个球都编上号码，分别记为1号、2号、3号、4号和5号，那么从袋中任意摸出一个球，摸到1 - 5号球的概率一样大吗？因为这5个球除颜色、编号外，其他完全相同，所以它们被摸到的可能性相等，也就是概率相等，一样大，具有等可能性。

　　第四个问题，请选择。袋中又装入白球若干个，它们和红球、绿球只有颜色区别。从袋中随机取出一个球，如果取到白球的可能性比取到红球、绿球的可能性都要大，那么袋中白球的个数是多少？白球可能性要最大，意味着白球个数要最多。因为红球3个，绿球2个，所以白球个数至少是4个，当然5个、6个等等也可以，所以这道题应选择D。

　　我们再换一个袋子，这只袋子也不透明，里面放入一些除颜色外完全相同的白球和红球，两种球共10个。从袋中任意摸出一个球，记录颜色后将球放回袋中并搅匀。在不能数球的情况下，请猜想任意摸出一个球，摸到白球与摸到红球的概率各是多少？有的同学可能觉得无从下手，虽然知道两种球共10个，但不允许数球，怎么猜想概率呢？同学们，我们虽然猜想不出来，但能不能运用这章知识，想办法估计摸到白球与摸到红球的概率呢？我们可以用试验的方法。

　　接下来这个试验难度升级，前面几节课都是老师设计试验，这节复习课要求同学们自己设计试验，明确试验步骤及要求。回想以前做的试验，接受这个挑战吧。

　　同学们设计完毕了吗？小明同学设计好了，我们来看他设计的实验。

　　第一步做一做：每次从袋中摸出一个球，并记录下颜色，然后将球放回并搅匀，重复试验30次。

　　第二步合一合：汇总全班同学的试验结果，并将获得的数据填入下表。

　　第三步画一画：根据上表画出摸到白球的频率折线统计图。

　　第四步吸一吸：根据图表估计摸到白球的概率，推算出摸到红球的概率大约是多少。

　　小明同学的设计很不错，说明他学习认真且爱思考，一些注意点都强调了。比如摸完球要放回并搅匀，保证每个球摸到的机会相等。为保证试验次数足够多，要汇总全班同学的试验结果。在第四步还指明了白球概率可估计，红球概率可通过推算得出。同学们也可以看看自己的设计。

　　在试验过程中，有的同学提出了一些想法，大家觉得他们说的对吗？请按下暂停键，谈谈看法。

　　有同学说每人做30次耗时太多，能否每人只做3次试验，再汇总全班试验结果估计概率呢？这不行。因为每人只做3次，试验总次数太少。我们说试验次数要足够多，频率才会呈现稳定性质，才能用频率估计概率，而且试验次数越多，估计出的概率越准确。

　　又有同学说，老师多准备些试验所需的袋子和球，不要全班只有一个，让每个人都有一个袋子，且每袋中球的个数完全相同，这样就能加快试验进程。老师会满足这个要求，因为每人一袋且完全相同，能保证试验在相同条件下进行。

　　还有同学说，为加快速度，一次摸两个球出来，记录两次颜色。这不可行。小明设计中明确摸出一个球要放回搅匀后再摸，现在一次摸两个球改变了试验条件，使每个球被摸到的可能性不等，所以这个想法不能采纳。

　　我们来看小明和同学做完试验得到的数据，从这张统计表和统计图中分析，能估计摸到白球和红球的概率吗？很显然，从统计表和统计图中看到，当摸球试验次数越来越多，频率逐渐稳定在0.3附近。所以我们可以估计摸到白球的概率为0.3，摸到红球的概率为1 - 0.3 = 0.7。这样，一开始抛出的能估计摸到白球和红球概率的问题就解决了。

　　现在我们拓展一下，袋子中一共10个球，能估计出白球和红球的个数分别是多少吗？这里应用概率反过来求球的个数。摸到白球的概率是0.3，一共10个球，所以可以10×0.3，估计出白球个数是3个。有了白球个数，算红球个数，一种方法是10个球减掉白球个数；另一种方法是拿摸到红球的概率0.7乘以10，也能得到7个。同学们，你掌握了吗？

　　接下来做课堂总结。

　　其实在这一章，我们不仅学了基础知识、基本技能、基本活动，还有基本思想方法，比如随机思想、统计推断思想，用统计中的频率来估计概率、推断概率，还有归纳方法，比如对多种方法做一般性总结归纳等。别看第8章篇幅短，但收获很多。所以这节课后，请同学们认真复习这一章。

　　课后老师布置了几个题目，其中第5题是阅读课本第50页的概率小故事，这个故事很有意思，能让我们了解概率的发展史，同学们课后要认真阅读。

　　好，今天这节课就到这里，同学们，再见。