师：同学们，今天我们一起学习第十章小结与思考。上节课我们从实际问题出发，了解到实际问题中的数量关系可用分式表示，还复习了分式的基本性质，讨论了分式的运算，并利用分式运算结果解释了一些实际问题。我们知道实际问题中还有相等关系，可用分式方程表示，而分式方程可转化为整式方程中的一次方程来求解，方程的解又能用来解决实际问题。今天我们就一起来复习分式方程二。

　　下面进行例题讲解。例一，解下列分式方程。

　　方程一：$\frac{x}{x - 3} = 2 + \frac{3}{x - 3}$。观察发现这个分式的最简公分母是$x - 3$，所以方程两边同乘$x - 3$得：$x = 2(x - 3) + 3$。解这个一次方程可得$x = 3$。检验：当$x = 3$时，$x - 3 = 0$，所以$x = 3$是增根，此时原方程无解。

　　方程二：$\frac{2x}{x - 2} + \frac{2}{x + 2} = 2$。观察发现这个分式方程的最简公分母是$(x - 2)(x + 2)$，所以方程两边同乘以$(x - 2)(x + 2)$，得整式方程$2x(x + 2) + 2(x - 2) = 2(x - 2)(x + 2)$。整理并求解这个整式方程可得$x = -\frac{1}{2}$。同时进行检验，当$x = -\frac{1}{2}$时，$(x - 2)(x + 2) \neq 0$。所以得出结论，$x = -\frac{1}{2}$是原方程的解。

　　从解分式方程的流程上总结一下，遇到分式方程，我们应将方程两边同乘以最简公分母，将其化成整式方程。接着解整式方程，得到整式方程的解$x = a$，再将$x = a$代入最简公分母进行检验。若最简公分母不为$0$，那么$x = a$就是原分式方程的解；若最简公分母等于$0$，那么$x = a$是增根，原方程无解。

　　我们再来看两个解分式方程的例子。方程三：$\frac{x}{3x + 1} = \frac{3x + 1}{3x + 2}$。观察这里的分式，分母都是多项式，且有可因式分解的。在这种情况下，应先对可因式分解的分母进行因式分解，再寻找最简公分母。比如这个方程，寻找到的最简公分母应该是$3(x + 1)$。此时将方程左右两边同乘以$3(x + 1)$，可得$3x = 2x + 3(x + 1)$。解这个整式方程可得$x = -\frac{3}{2}$，检验这一步必不可少。经检验，$x = -\frac{3}{2}$是原方程的解。

　　类似方程四，观察几个分母，发现对$4 - x^2$进行因式分解，结果是$(2 + x)(2 - x)$，而$2 - x$和前面一个分式的分母$x - 2$刚好互为相反数。这种情况下，建议大家先对原方程进行整理，处理一下符号，将最后一项写成$+\frac{x + 11}{x^2 - 4}$。这时候再找最简公分母就简单了，此时最简公分母就是$(x + 2)(x - 2)$。在整理过程中，要注意符号由原来的减号变成了加号。接下来将它化成整式方程并化简，可解得$x = 3$。代入检验，当$x = 3$时，最简公分母$(x + 2)(x - 2) \neq 0$，所以$x = 3$是原方程的解。

　　例二，解方程$\frac{2}{(x - 1)(x - 2)} = \frac{5}{(x - 4)(x - 1)}$。同学们一看就知道这是常规的解分式方程，方程两边同乘以最简公分母$(x - 1)(x - 2)(x - 4)(x - 5)$，得到方程左边是$(x - 4)(x - 5)$，右边是$(x - 1)(x - 2)$。展开化简可得$x = 3$，当然检验还是要进行的。当$x = 3$时，最简公分母不为$0$，所以$x = 3$是这个方程的解。

　　再看方程：$\frac{x}{x - 1} - \frac{x - 1}{x - 2} = \frac{x - 3}{x - 4} - \frac{x - 4}{x - 5}$。同学们如果直接找最简公分母去分母，题目就比较复杂，计算量会很大。善于观察的同学会发现方程两边分式的分母是有关系的。那大家思考，什么时候分母会相乘？待解决的问题能否转化成已解决的问题？带着这两个问题，相信同学们会想到将分式方程的左右两边分别进行通分。通分既可以出现分母$(x - 1)(x - 2)$，又能将方程划归成之前类似方程的形式。将方程左右两边分别通分相加分母划归成类似之前情况，可化为$\frac{-1}{(x - 1)(x - 2)} = \frac{-1}{(x - 4)(x - 5)}$，也就是之前的方程形式。这时其实都不用解，由之前的结果可得$x = 3$就是此方程的解。

　　小结这个题目，我们知道划归思想是解决新问题的有效思维策略。本题利用分式加减法法则，将待解决的问题转化成已解决的问题形式，从而使问题得以解决。

　　例三，老师在黑板上写出一个分式的计算题，随后用手捂住了一部分。

　　第一问，求捂住部分表示的代数式。我们先列式表示这个代数式，根据算式意义，得到捂住部分的代数式可表示为：$\frac{x + 1}{x - 1} \times \frac{x}{x + 1} + \frac{x^2 - 1}{x^2 - 2x + 1} - x$。对这个代数式进行乘法和加法的混合运算，可得捂住部分的代数式是$\frac{x + 1}{x - 2}$。解决这个题目的关键是明确分式混合运算的运算顺序。