师：同学们，大家好。在上一节课，我们研究了频率，知道频率有随机性和稳定性两个特性。同时，我们还认识了概率，它是刻画一个事件发生可能性大小的数值。那频率和概率之间有什么样的关系呢？上节课我们留下了这个悬念，这节课我们就先来揭秘它们的联系。要讲联系，就得从频率的稳定性讲起。在一定条件下大量重复进行同一试验，随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且趋于稳定，这个常数我们就可以作为概率的估计值。

　　比如，在抛掷一枚质地均匀硬币的试验中，当抛掷次数足够大时，正面朝上的频率在常数0.5附近摆动，我们就可以估计正面朝上的概率是0.5。再比如，在某批足球质量检验试验中，当抽取的足球数很大时，优等品的频率会在常数0.95附近摆动，所以我们估计从这批足球中任意抽取一只足球是优等品的概率为0.95。

　　在上节课，我们还碰到这样一个例子，在某地区，从某年起几十年内的新生婴儿数及其中男婴数调查数据中发现，当调查获取的数据很大时，该地区男婴出生的频率在常数0.517附近摆动，所以我们估计该地区男婴出生的概率为0.517。

　　这样，我们就找到了频率和概率的联系，可以说在大量重复试验的时候，频率可以用来估计概率。

　　现在老师给大家抛出个问题，这是一枚图钉，像伞面的部分，我们称之为钉帽，尖尖的一头称之为钉尖。现在我站在硬地上抛掷这样一枚图钉，请问钉尖不着地的概率约有多大呢？我们想得到这个概率怎么办？有同学说，可以用频率来估计概率。没错，那要得到频率，我们就必须进行数学实验。

　　所以，我们进入数学实验室，今天要完成的实验是抛掷图钉试验，实验目的是估计钉尖不着地的概率。实验工具是如图所示的图钉。老师提醒大家，市面上图钉的种类很多，请选择如图所示的图钉，确保我们的实验工具一致。

　　准备好以后，我们开始实验步骤。第一步，说一说在硬地上任意抛掷一枚图钉会出现哪些结果。

　　生：会出现钉尖着地和钉尖不着地两种结果。

　　师：再请同学们猜一猜，在硬地上任意抛掷一枚图钉，钉尖不着地的概率是多少？

　　生1：上节课做的抛掷质地均匀硬币的试验，结果也是两种，正面朝上或者反面朝上，最后通过试验得出正面朝上的概率是0.5，这个试验它的结果也是两种，所以我猜钉尖不着地的概率也是0.5。

　　生2：我觉得图钉和硬币还是有些区别的，钉尖不着地的概率和钉尖着地的概率不一样，但究竟钉尖不着地的概率是多少，我还真猜不出来。

　　师：不管大家怎么想，我们都要用事实说话，用数据说话。所以，还是来做一做吧。每人抛掷一枚图钉20次，分别汇总5人、10人、15人等多人的试验结果，并将获得的数据填入下表。为了保证大家的动作基本一致，老师罗列了几条动作要求，请大家按下暂停键读一读，特别注意红色字体标注的地方。明确动作要求以后，就请同学们开始动手实验。

　　好，接下来第四步，画一画，根据统计表画出钉尖不着地的频率折线统计图。第五步，析一析，观察统计表和折线统计图。你能估计钉尖不着地的概率吗？请与同学交流。按下暂停键，大家画一画，交流一下。

　　同学们完成了吗？小明同学和他的同伴们也做完了这个试验，得到了这样的数据，我们可以来看一看这张统计表，并且画出了折线统计图。如果以小明和他的同学做的这个实验数据为例，大家看一看，从这里我们能看出频率的变化规律吗？能估计出钉尖不着地的概率吗？

　　生：当试验次数很大时，钉尖不着地的频率在0.61附近摆动，从而估计出钉尖不着地的概率是0.61。

　　师：这个和刚才小明的猜想0.5不一样，所以小明有些疑问。他第一个问题，抛掷质地均匀硬币的试验有两种结果，其中一种结果正面朝上的概率就是1的一半0.5。而这个试验结果也是两种，但钉尖不着地的概率却不是0.5。同学们能帮他解答这个疑惑吗？

　　生：在抛掷硬币试验中所采用的实验工具硬币是质地均匀的，正面朝上与反面朝上出现的机会均等，试验的结果具有等可能性。抛掷图钉试验中，显然钉帽的质量较大，因而钉尖着地与钉尖不着地出现的机会不均等，试验的结果不具有等可能性。

　　师：小明接着问，对于一些发生机会不均等的事件，我们可以用什么办法来得到这些事件发生的概率呢？

　　生：对于一些发生机会不均等的事件，我们必须通过多次重复试验得到频率在某个常数附近摆动并且趋于稳定，再用常数作为随机事件发生概率的估计值。

　　师：这种统计概率在我们的实际生活中应用是很广泛的。爱思考的小明又问，如果图1的图钉不够，一部分同学可以用如图2的图钉做这个试验吗？

　　生：不可以。因为这两种图钉材质、形状等都不一样，试验条件发生了改变，大量重复试验必须保证在相同条件下进行。

　　师：同学们，刚才我们从为什么要做实验、怎样做实验以及如何分析试验的结果，完成了这个实验的探索。接下来我们进行一个小结，从这个实验当中你收获了些什么？

　　生1：再次经历了猜想、试验并收集整理、描述数据，分析试验结果的过程，再次感受了频率的随机性和稳定性的特性。

　　生2：用大量重复试验所得的随机事件的频率值来估计概率，这是一种重要的方法，这种方法在实际的生产生活中有着广泛的应用。

　　生3：重复试验必须保证在相同条件下进行。

　　师：好，我们接下来进行一个探索活动。这是一种绿豆，它会发芽，如果我想知道这种绿豆发芽的概率怎么办呢？

　　生：通过试验。

　　师：某个研究小组就拿这种绿豆在相同条件下发芽，试验结果如下，还有3个任务没有完成，想请同学们帮个忙。请同学们按下暂停键完成这三个任务。

　　完成了吗？我们一起来看第一个，填写表中的空格，这里填的都是频率，频率的计算是用频数除以对应的每批的粒数。我们来看一下，得到的是这组数据。第二步，画出这种绿豆发芽频率的折线统计图，最近我们一直在画这个折线统计图，相信大家应该很熟练了。第三，这种绿豆发芽的概率的估计值是多少？从统计表和统计图当中我们会发现，随着试验的次数逐渐增多，发芽的频率会在0.93附近摆动，并且趋于稳定，所以这种绿豆发芽的概率的估计值就是0.93。同学们，你做对了吗？