师：同学们，前面我们学习了与三角形有关的线段，今天来学习与三角形有关的角。小学时我们就知道任意一个三角形的内角和等于180度，当时是通过实验得出的。但在中学，我们知道实验并非数学证明，缺乏严谨性与普遍性，不能完全让人信服。所以，我们要用中学数学知识探讨三角形内角和问题。

　　大家还记得是怎么发现这个结论的吗？通常有三种方法：度量、拼图、折叠。请大家利用手中的三角形纸片进行探究，用量角器度量三角形纸片的三个内角，并计算它们的和。我们重点看剪拼图和折叠的方法。如图，图1与图2是把角B与角C剪开，分别拼在角A的两侧，从图中可知，这三个角拼成了一个平角。

　　再看图3与图4，是把角A与角B剪下来，拼在角C的两侧，同样，这三个角也拼成一个平角。最后看折叠的方法，由图可知，三个角也拼成了一个平角。同学们，运用度量的方法得出的三角形内角和都是180度吗？我们会发现，计算的三个内角和不一定都是180度，但都在180度附近，为什么会这样呢？因为度量可能存在误差。

　　通过度量、剪拼图或折叠的方法，验证了手中三角形纸片的三个内角和等于180度。然而，我们手中的三角形只是所有三角形中有限的几个，形状不同的三角形有无数多个。那如何得出所有三角形的三个内角和都等于180度这个结论呢？这就需要通过推理的方法去证明。大家能从以上操作过程中受到启发，想出证明三角形内角和等于180度的方法吗？

　　在图中，角B和角C分别拼在角A的左右，三个角合起来形成一个平角，出现了一条过点A的直线l，直线l与边BC有什么位置关系？从图中可以看出，直线l与BC边是平行的。由此，大家能受到什么启发？能发现证明三角形内角和等于180度的思路吗？我们可以添加与边BC平行的辅助线l，利用平行线的性质和平角的定义证明这个结论。

　　结合下图，我们来写已知、求证和证明。已知三角形ABC，求证：∠A + ∠B + ∠C = 180°。证明过程如下：过点A作直线l，使l∥BC。因为l∥BC，所以∠2 = ∠B，∠3 = ∠C（两直线平行，内错角相等）。因为∠1 + ∠4 + ∠5 = 180°（平角的定义），所以通过等量代换可得∠A + ∠B + ∠C = 180°。

　　由此，我们证明了这个结论。当任意改变三角形的形状时，探究的结论和证明过程都没有改变。于是，我们得到了三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180度。通过前面的操作和证明过程，大家还有其他方法证明这个定理吗？

　　我们还可以将BC边延长，过点C作AB的平行线，根据平行线的性质，可得∠1 = ∠4，∠2 = ∠5。因为∠3、∠4、∠5这三个角拼成一个平角，其和是180度，所以通过等量代换，可以证明∠A + ∠B + ∠C = 180度。

　　也可以在BC边上任取一点P，过点P分别作AB和AC的平行线m和l。根据平行线的性质，由∠1 = ∠5，∠2 = ∠6，∠3 = ∠4，由于∠4 + ∠5 + ∠6 = 180度，通过等量代换，同样可以证明∠A + ∠B + ∠C = 180度。

　　还可以在三角形ABC内任取一点P，过点P分别作三边的平行线l，m，n。根据平行线的性质，可得∠1 = ∠5，∠2 = ∠6，∠3 = ∠4。因为∠4、∠5、∠6三个角拼成一个平角，所以通过等量代换，也能证到∠A + ∠B + ∠C = 180度。甚至在三角形ABC外面任取一点P，分别作三边的平行线，通过平行线的性质，证明∠1 = ∠5，∠2 = ∠6，∠3 = ∠4。因为∠4、∠5、∠6组成一个平角，其和是180度，所以同样可以证到∠A + ∠B + ∠C = 180度。

　　下面来看三角形内角和定理的应用。如图，在三角形ABC中，∠BAC = 40°，∠B = 75°，AD是三角形ABC的角平分线，求∠ADB的度数。我们先把题目已知的角度标到图中，再来求∠ADB的度数。∠ADB在三角形ABD中，考虑用三角形内角和定理，∠ADB = 180° - ∠DAB - ∠B。看具体过程：因为∠BAC = 40°，AD是三角形ABC的角平分线，所以∠DAB = 1/2 ∠BAC = 20°。因为三角形内角和是180°，所以∠ADB = 180° - 20° - 75° = 85°。