师：同学们，前两节课我们研究了三角形的内角和问题，本节课我们一起来探究三角形外角相关的问题。本节课我们要研究以下四个问题：第一，什么是三角形的外角？第二，三角形的外角和内角有什么区别？第三，三角形的外角有什么性质？第四，三角形的外角和是什么？我们先来看第一个问题。在三角形ABC中，已知∠C = 75°，∠B = 40°，∠A等于多少度？根据三角形内角和定理，∠A = 180° - ∠C - ∠B，由此可求得∠A是65°。

　　第二个问题，如图，把三角形ABC的一边BC延长得到∠ACD，你能求出∠ACD的大小吗？这个角还是三角形的内角吗？求∠ACD的度数，我们可以先求出∠ACB的度数是65°，再根据邻补角的定义，可求出∠ACD的度数为115°。那么∠ACD是不是三角形的内角呢？答案是否定的。那么∠ACD叫什么角呢？我们把它称为三角形的外角。三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角。画出三角形ABC所有外角，共有几个呢？根据三角形外角的定义，把三角形ABC三边分别向两个方向延长，由此我们可以得出6个外角。每一个三角形都有六个外角，并且每一个顶点相对应的外角都有两个，这两个角为对顶角。由于对顶角相等，所以在具体研究问题的时候，我们通常每个顶点处只取一个外角。如图，∠BEC是哪个三角形的外角？∠AEC是哪个三角形的外角？我们来看一下∠BEC的构成，它的一边是三角形ACE的边，它的另外一边是三角形ACE AE边的延长线，因此∠BEC是三角形ACE的外角。我们再来看∠AEC，它是怎么构成的呢？它是三角形BCE的一边和另一边的延长线组成的角，因此∠AEC是三角形BCE的外角。我们在AC上任取点D，连接BD与CE相交于点F，那么∠EFD是哪个三角形的外角？根据三角形外角的定义，我们可以判断出∠EFD是三角形EBF和三角形ECD的外角。为什么说∠EFD不是三角形BFC的外角？因为∠EFD的两边分别是三角形BFC两边的延长线组成的角，不符合三角形外角的定义，所以说∠EFD不是三角形BFC的外角。

　　我们来看第三个问题，如图，三角形ABC的外角∠BCD与其相邻的内角∠ACB的位置是怎样的？∠BCD与∠ACB有什么数量关系？从图可以看出，∠BCD在三角形ABC的外面，是三角形ABC的外角。那么它与∠ACB有什么数量关系？从图可以看出，∠BCD和∠ACB互为邻补角，因此它们的和是180°，即∠BCD + ∠ACB = 180°。

　　如图，三角形ABC的外角∠BCD与其不相邻的两内角∠A、∠B有什么关系？从图可以看出，三角形的外角在三角形ABC的外面，而与它不相邻的两个内角在三角形ABC里面，在数量上有什么关系？由刚才的图形我们不难发现，∠ACD正好等于∠A + ∠B，由此在这个图中我们可以猜测∠BCD = ∠A + ∠B，你能不能证明这个结论？我们可以这样来证：因为∠BCD = 180° - ∠ACB，而根据三角形内角和，∠A + ∠B也等于180° - ∠ACB，因此我们有∠BCD = ∠A + ∠B，说明上面的猜想是正确的。那么有没有其他证法呢？我们可以过点C做AB的平行线CE。根据平行线的性质，我们有∠DCE = ∠A，∠ECB = ∠B。所以∠BCD = ∠DCE + ∠ECB，通过等量代换等于∠A + ∠B。这个方法也证明了上面的猜想是正确的。

　　那么我们通过上面的猜想证明得出了三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。由于推论是由定理直接推出的结论，和定理一样，推论可以作为进一步推理的依据。接下来我们来看一看如何利用三角形内角和的推论来解决问题。如图一，试比较∠2与∠1的大小。在图一中，∠2是三角形ABC的外角。根据刚才的推论，我们有∠2 = ∠1 + ∠B，因此∠2 ＞ ∠1。在图2中，∠2 = ∠1 + ∠B，而∠3 = ∠2 + ∠D，这就说明了∠3比∠2大，而∠2又比∠1大，所以三者的关系就是∠3 ＞ ∠2 ＞ ∠1。从这两个图中我们可以看出，三角形的外角大于与它不相邻的内角。

　　接下来我们看一组练习。第一题，说出下列图形中∠1和∠2的度数。在图一中，我们可以根据三角形内角和定理求出∠1的度数，∠1 = 180° - ∠B - ∠A = 40°。求∠2的度数，我们既可以利用刚才的结论，也就是∠2 = ∠A + ∠B = 140°，也可以在∠1的基础之上利用邻补角的定义求出∠2，同样等于140°。在图2中，我们首先根据三角形的外角求出∠1 = 18°，再根据三角形内角和求出∠2 = 130°。当然，∠2的求法也可以直接利用邻补角的知识求得是130°。

　　好，这是两题的答案。第二个问题，如图，在三角形ABC中，∠A = 80°，点D是BC延长线上一点，∠ACD = 150°，则∠B等于多少？从这个图我们应该直接想到用三角形的外角定理，即∠B = ∠ACD - ∠A = 70°。

　　第三题，如图，∠A = 32°，∠B = 45°，∠C = 38°，要我们来求∠DFE的度数。我们来研究一下，这几个角中，∠A和∠B分别在不同的三角形中，∠A和∠C在同一个三角形，也就是三角形ACE中。所以我们可以利用三角形外角的知识，先求出∠AED的度数，∠AED = ∠A + ∠C = 32° + 38° = 70°。我们再来看∠DFE，∠DFE可以看作是三角形BEF的一个外角。根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，我们有∠DFE = ∠B + ∠FEB。已经求得∠FEB = 70°，再加上∠B = 45°，可以得出∠DFE = 115°。所以本题答案是115°。

　　第四题，如图，∠A = 51°，∠B = 20°，∠C = 30°，你有几种办法来求∠BDC的度数？我们考虑将BD延长与AC相交于点E。这样可以通过三角形外角的知识先求得∠BEC = 71°，再根据∠BDC = ∠BEC + ∠C = 101°。除此之外，我们也可以把CD边进行延长，与AB相交于点E，方法类似，同样可以求得∠BDC = 101°。我们还可以将AD连接并延长，那么∠BDE就等于∠B + ∠BAD，而∠CDE = ∠C + ∠CAD。这样将∠BDC看作是∠BDE和∠CDE的和，那么最终∠BDC其实就是∠A、∠B、∠C这三个角的和。我们还可以直接连接BC，通过三角形内角和也可以求出∠BDC的度数是101°。请同学们选择其中的一至两种方法书写一下具体的过程。