师：同学们好，本节课我们一起来研究全等三角形的习题课。本节课从四个题型展开，题型一：证明两个三角形全等；题型二：三角形中常见辅助线的做法——证明全等；题型三：角平分线的性质与判定；题型四：综合应用。

　　首先看题型一，证明两个三角形全等。如图，点(B)在(AE)上，(\angle CAB = \angle DAB)，要使(\triangle ABC \cong \triangle ABD)，可补充什么条件呢？通过观察图形，已知一组角对应相等，即(\angle CAB = \angle DAB)，还有一组公共边(AB = AB)。根据三角形全等的判定方法：

　　用“边角边”证明，需要补充的条件是(AD = AC)；

　　用“角边角”证明，需要补充的条件是(\angle CBA = \angle DBA)；

　　用“角角边”证明，需要补充的条件是(\angle C = \angle D)。

　　实际上，这道题还可以补充条件(\angle CBE = \angle DBE)，由(\angle CBE = \angle DBE)可转化为三角形内对应角相等，进而证明三角形全等。

　　接着看题型二，三角形中常见辅助线的做法——证明全等。

　　延长中线构造全等三角形。如图，已知(\triangle ABC)中，(AD)是(\triangle ABC)的中线，(AB = 8)，(AC = 6)，求(AD)的取值范围。在(\triangle ABC)中，根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可得(BC)的取值范围是大于(2)小于(14)。因为(AD)是中线，我们延长(AD)至(A')，使(A'D = AD)，连接(BA')。

　　证明过程如下：

　　延长(AD)至(A')，使(A'D = AD)，连接(BA')。

　　因为(AD)是(\triangle ABC)的中线，所以(BD = CD)。

　　又因为(\angle BDA' = \angle CDA)，(A'D = AD)，(BD = CD)，

　　所以(\triangle BDA' \cong \triangle CDA)（(SAS)），

　　则(AC = A'B)。

　　在(\triangle ABA')中，(AB - A'B < AA' < AB + A'B)，即(2 < 2AD < 14)，所以(1 < AD < 7)。

　　这种方法叫做倍长中线法。

　　以平行线构造全等三角形。如图，已知(\triangle ABC)中，(AB = AC)，(D)在(AB)上，(E)是(AC)延长线上一点，且(BD = CE)，(DE)与(BC)交于点(F)，求证(DF = EF)。

　　方法一：作(DG \parallel AE)，交(BC)于(G)，则(\angle DGB = \angle ACB)，(\angle GDF = \angle CEF)。

　　因为(AB = AC)，所以(\angle B = \angle ACB)，则(\angle B = \angle DGB)，所以(BD = DG = CE)。

　　又因为(\angle GDF = \angle CEF)，(\angle DFG = \angle EFC)，(DG = CE)，

　　所以(\triangle DFG \cong \triangle EFC)（(AAS)），

　　所以(DF = EF)。

　　方法二：作(EH \parallel BA)，交(BC)的延长线于(H)，方法与之类似，同学们可自行思考。

　　截长补短构造全等三角形。如图，已知(\triangle ABC)中，(\angle B = 2\angle C)，(AD)平分(\angle BAC)，交(BC)于(D)，求证(AC = AB + BD)。

　　方法一：截长法，在(AC)上截取(AB' = AB)。

　　因为(AD)平分(\angle BAC)，所以(\angle BAD = \angle B'AD)。

　　又因为(AD = AD)，

　　所以(\triangle ADB \cong \triangle ADB')（(SAS)），

　　则(BD = B'D)，(\angle B = \angle AB'D)。

　　因为(\angle AB'D = \angle C + \angle B'DC)，(\angle B = 2\angle C)，

　　所以(\angle C = \angle B'DC)，

　　所以(B'D = B'C = BD)，

　　所以(AC = AB' + B'C = AB + BD)。

　　方法二：补短法，延长(DB)到(E)，使(BE = AB)，则(ED = EB + BD = AB + BD)，只要证明(AC = DE)即可。

　　证明过程如下：

　　延长(DB)到(E)，使(BE = AB)，则(\angle E = \angle EAB)。

　　因为(\angle ABC = 2\angle C = \angle E + \angle EAB = 2\angle E)，

　　所以(\angle E = \angle C = \angle EAB)，

　　所以(AE = AC)。

　　因为(AD)平分(\angle BAC)，所以(\angle BAD = \angle CAD)，

　　所以(\angle BAD + \angle EAB = \angle DAC + \angle C)，即(\angle DAE = \angle ADE)，

　　所以(AE = DE)，

　　则(AC = AE = ED = EB + BD = AB + BD)。

　　下面看题型三，角平分线的性质与判定。如图，已知(AD)为等腰三角形(ABC)的底角的平分线，(\angle C = 90^{\circ})，求证(AB = AC + CD)。

　　这道题要证明一条线段等于两条线段之和，与前面类似，可利用截长补短，又因为(AD)是角平分线，(\angle C = 90^{\circ})，可想到角平分线的性质。过点(D)作(DE \perp AB)。

　　因为(\triangle ABC)是等腰直角三角形，所以(\angle B = 45^{\circ})。

　　又因为(DE \perp AB)，所以(DE = BE)。

　　因为(AD)为角平分线，(\angle C = 90^{\circ})，(DE \perp AB)，所以(DE = DC)，则(CD = BE)。

　　在(\triangle CAD)和(\triangle EAD)中，根据已知条件可证明(\triangle CAD \cong \triangle EAD)，所以(AC = AE)。

　　那么(AB = AE + EB = AC + CD)。

　　当然，也可以在(AB)上截取(AE = AC)，利用截长补短的方法证明。

　　最后看题型四，综合应用。

　　手拉手模型基础题。如图，(A)是(CD)上一点，(\triangle ABC)、(\triangle ADE)都是等边三角形，求证(CE = BD)。

　　要证明两条线段相等，可利用三角形全等。分析条件可知，证明(\triangle ABD \cong \triangle ACE)即可。

　　因为(\triangle ABC)和(\triangle ADE)都是等边三角形，所以(AB = AC)，(AD = AE)，(\angle BAC = 60^{\circ})，(\angle EAD = 60^{\circ})，

　　所以(\angle CAE = \angle BAD = 120^{\circ})。

　　所以(\triangle ABD \cong \triangle ACE)（(SAS)），

　　所以(CE = BD)。

　　变式一。在原题条件不变的前提下，证明：

　　证明(\triangle ABF \cong \triangle ACG)；

　　证明(AG = AF)；

　　连接(GF)，证明(\triangle AGF)是等边三角形；

　　证明(GF \parallel CD)。

　　因为(\triangle ABD \cong \triangle ACE)，所以(\angle ACE = \angle ABD)，(\angle GAC = \angle FAB = 60^{\circ})，(AB = AC)。

　　利用“边角边”可证明(\triangle ABF \cong \triangle ACG)。

　　证明出(\triangle ABF \cong \triangle ACG)，则(AG = AF)。

　　因为(\angle GAF = 60^{\circ})，所以(\triangle AGF)是等边三角形，

　　所以(\angle FGA = 60^{\circ})。

　　因为(\angle GAC = 60^{\circ})，所以(\angle FGA = \angle GAC)，进而(GF \parallel CD)。

　　变式二。在原题条件下，再增加一个条件，在(CE)、(BD)上分别取中点(M)、(N)，证明(\triangle AMN)是等边三角形。

　　要证明(\triangle AMN)是等边三角形，可证明三条边相等，或两条边相等且有一个角是(60^{\circ})。

　　由前面证明可知(CE = BD)，(\angle ACE = \angle ABD)。

　　因为(M)、(N)为(CE)、(BD)的中点，所以(CM = BN)。

　　又因为(AC = AB)，(\angle ACE = \angle ABD)，

　　所以(\triangle ACM \cong \triangle ABN)（(SAS)），

　　所以(AM = AN)，(\angle CAM = \angle BAN)。

　　因为(\angle CAM + \angle BAN = 60^{\circ})，所以(\angle BAN + \angle BAM = 60^{\circ})，即(\angle MAN = 60^{\circ})，

　　所以(\triangle AMN)是等边三角形。

　　变式三。如图，点(C)为线段(AB)延长线上一点，(\triangle AMC)、(\triangle BNC)为等边三角形，且在线段(AB)的同侧，证明(AN = MB)。

　　这道题与原题类似，只是两个三角形位置不同，证明方法基本相同。

　　证明如下：

　　因为(\triangle AMC)、(\triangle BNC)为等边三角形，所以(AC = MC)，(CB = CN)，(\angle NBC = \angle BNC = 60^{\circ})，

　　所以(\angle MNB = \angle ABN = 120^{\circ})。

　　又因为(AC - BC = MC - NC)，即(AB = MN)，且(BN = NB)，

　　所以(\triangle ABN \cong \triangle MNB)（(SAS)），

　　所以(AN = MB)。

　　变式四。如图，(\triangle ABD)、(\triangle ACE)都是等边三角形，证明(CD = BE)。

　　这道题把条件中(B)、(A)、(C)三点改为不共线，证明方法与前面基本相同。

　　证明：

　　因为(\triangle ABD)和(\triangle ACE)都是等边三角形，所以(AD = AB)，(AC = AE)，(\angle DAB = \angle EAC = 60^{\circ})，

　　所以(\angle DAB + \angle BAC = \angle EAC + \angle BAC)，即(\angle DAC = \angle BAE)，

　　所以(\triangle DAC \cong \triangle BAE)（(SAS)），

　　所以(CD = BE)。

　　变式五。如图，分别以(\triangle ABC)的边(AB)、(AC)为一边，画正方形(AEDB)和正方形(ACFG)，连接(CE)、(BG)，求证(BG = CE)。

　　这道题把两个三角形改成了两个正方形，证法相同，请同学们自己思考。

　　本节课我们主要认知了以下知识点：

　　证明两个三角形全等，要结合题目条件和结论，选择恰当的判定方法。

　　全等三角形是证明两条线段或两个角相等的重要方法之一。证明时要观察待证的线段或角在哪两个可能全等的三角形中，分析已有的条件和还缺少的条件。有公共边的，公共边一定是对应边；有公共角的，公共角一定是对应角；有对顶角，对顶角也是对应角。

　　要注意正确书写证明格式，注意顺序和对应关系。

　　本节课就讲到这儿，谢谢观看。