师：同学们好，今天我们一起来探究分式的加减第一课时。老师最近读了些文章，发现数学知识和日常生活紧密相关。下面来分享一下。请看问题一，甲工程队完成一项工程需(n)天，乙工程队要比甲工程队多用(3)天才能完成这项工程，两队共同工作一天完成这项工程的几分之几？大家思考下，这段文字中涉及到几个工作效率？

　　生：甲工程队一天完成这项工程的(\frac{1}{n})，乙工程队一天完成这项工程的(\frac{1}{n + 3})，两队共同工作一天完成这项工程的(\frac{1}{n} + \frac{1}{n + 3})。

　　师：从运算上我们看到了什么？

　　生：分式的加法。

　　师：请看问题二，2011 - 2012年某地的森林面积（单位：公顷）分别是(S_1)，(S_2)，(S_3)。2012年与2011年相比，森林面积增长率提高了多少？这里提到森林面积增长率，其计算公式是(\frac{本年森林面积 - 上年森林面积}{上年森林面积})。问题要求的是2012年森林面积增长率比2011年森林面积增长率提高了多少，该如何解决呢？

　　生：先计算2012年的森林面积增长率是(\frac{S_3 - S_2}{S_2})，2011年的森林面积增长率是(\frac{S_2 - S_1}{S_1})。2012年与2011年相比，森林面积增长率提高了(\frac{S_3 - S_2}{S_2} - \frac{S_2 - S_1}{S_1})。

　　师：从运算上看到了什么？

　　生：分式的减法。

　　师：同学们回答得真棒。对于(\frac{1}{n} + \frac{1}{n + 3})和(\frac{S_3 - S_2}{S_2} - \frac{S_2 - S_1}{S_1})如何计算呢？这就需要进一步学习。同学们，小学阶段我们研究过分数的运算，观察下列分数加减运算的式子，你想到了什么？

　　生：这是小学数学的同分母分数相加减。

　　师：能说下同分母分数加减法则吗？

　　生：同分母分数相加减，分母不变，分子相加减。

　　师：请猜想这两个分式的运算结果是多少？(\frac{1}{a} + \frac{2}{a})等于多少？(\frac{x - 1}{2} + \frac{x - 2}{2})等于多少？

　　生：(\frac{1}{a} + \frac{2}{a} = \frac{1 + 2}{a})；(\frac{x - 1}{2} + \frac{x - 2}{2} = \frac{x - 1 + x - 2}{2})。

　　师：类比分母同分母分数的加减法，说一说同分母的分式应该如何加减？

　　生：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。上述法则可用式子表示为(\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c})。

　　师：把我们获得的知识运用一下，请看例一，计算(\frac{5x + 3y}{x^2 - y^2} - \frac{2x}{x^2 - y^2})。先观察一下，是同分母运算吗？

　　生：是的。

　　师：那运用法则来进行运算。注意第一步，分子是多项式，要用括号括起来。还要注意因式分解，便于约分，最后的结果要化为最简分式。接下来请同学们尝试下这样的变式计算，(\frac{5x + 3y}{x^2 - y^2} - \frac{2x}{y^2 - x^2})。先观察是否为同分母运算？

　　生：一眼看起来好像不是。

　　师：它们的特征是什么呢？

　　生：分母互为相反数。

　　师：因此在运算的时候可以做这样的变形。通过变形以后，把它化为同分母运算。所以在这个问题中要注意观察，若分母为互为相反数时，可以先化为同分母，再进行运算。接下来请同学们自己动手试一试。

　　（学生练习，老师点评）

　　师：同学们完成得真棒。刚刚探索了同分母分式的加减法，类比分数的加减法，接下来我们将研究什么运算呢？请看问题。计算(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6})，(\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6})。这是小学数学的异分母分数相加减，能说下异分母分数的加减法则吗？