师：同学们好，这节课我们来一起学习分式的基本性质的第二课时——约分和通分。首先，我们来看，将下列分数约分，依据是什么？我们都知道，小学里的约分就是约去分子、分母的最大公约数，从而变成最简分数。小学约分的依据是分数基本性质。老师提个问题，同学们想一想，类比分式能否约分？依据又是什么呢？带着这个问题，我们来看这样一个填空：分子上括号填什么？根据已学知识，分母从(xy)到(y)是除以(x)，那么分子也要除以(x)，所以这里填(x^2)。再看分母上的括号填什么？分子(3x^2 + 3xy)是除以(3x)，所以分母也要除以(3x)，那么这里就填(x)。

　　师：好，那我们再来观察这两个分式在变形前后的分子、分母有什么变化。类比分数的相应变形，你联想到了什么？注意类比分数。刚刚老师问了，分数可以约分，分式可以约分吗？观察这两个小题目，我们发现分式的分子分母约去公因式值不变。像这样，根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。经过约分后的分式，比如上面例子中的(\frac{x + y}{2x})，其分子与分母没有公因式。像这样分子与分母没有公因式的式子，我们叫做最简分式，就如同最简分数一样。

　　师：同学们，我们来看例一中的两个小题。当分子分母都是单项式时，我们如何进行约分呢？根据刚刚的定义，就是约去分子分母的公因式。那么当分子分母都是单项式的时候，怎么寻找这个公因式呢？应该先把系数的最大公约数约去，也就是先约系数，然后再把分子分母相同字母的最低次幂约去，这样就能达到约分的目的。进一步说，当分子分母都是单项式时，我们寻找的公因式就是取系数的最大公约数与相同字母的最低次幂。

　　师：再看第二题，当分子和分母都是多项式的时候，又如何约去它们的公因式呢？同学们发现，如果多项式不进行分解因式，就看不到公因式。所以以后遇到分子分母是多项式的时候，一定要先把分子分母进行分解因式，然后再约取公因式。

　　师：好，接下来请同学们独立完成这两个小题。第一小题解题过程中，我们找到的分子与分母的公因式是(5abc)或者(-abc)。这里是先确定了这个分式的符号，然后确定公因式，最后约去公因式，达到约分目的，变成最简分式(-\frac{5ac^2}{3b})。第二小题，分母分解成((x + 3)^2)，分子分解成((x - 3)(x + 3))，约去公因式(x + 3)，最后答案是(\frac{x - 3}{x + 3})。

　　师：看，在化简分式(\frac{5xy}{20x^2y})时，小莹和小明的做法出现了分歧。小莹是分子和分母都除以了(y)，小明是分子分母都除以(5xy)。也就是说，小莹找的公因式是(y)，小明找的公因式是(5xy)，到底谁正确呢？显然小明是正确的，小莹是错误的，因为小莹的公因式找错了。所以我们要切记，约分要彻底，要使得分子和分母没有公因式，结果必须是最简分式。对于分数而言，彻底约分后的分数叫最简分数，那么彻底约分后的分式我们就叫最简分式。

　　师：来巩固练习一下，下列分式中是最简分式的，请填上序号。第一个，显然分子分母有公因式(x)，不是最简分式。第二个，(\frac{x + y}{x})，分子分母没有公因式，所以是最简分式。第三个，(\frac{c}{c^2 + 7c})，分子分母有公因式(c)，不是最简分式。第四个，(\frac{x + y}{x^2 + y^2})，分母(x^2 + y^2)不能再分解因式，分子分母没有公因式，是最简分式。第五个，分母(x^2 - y^2)分解因式后变成((x + y)(x - y))，与分子有公因式(x + y)，不是最简分式。

　　师：再来看第二题约分。第一小题，公因式是(c)，结果是(2ab)。第二小题，公因式是(y)，约去公因式(y)后等于(\frac{x + y}{xy})。第三小题，公因式是(x + y)，把分子分解因式后变成(x(x + y))，约去公因式(x + y)，答案是(\frac{x}{x + y})。第四题，分母分解因式变成((m + 1)(m - 1))，分子分解因式变成(m(m + 1))，约去公因式(m + 1)，最后答案是(\frac{m}{m - 1})。