师：同学们，接下来我们学习因式分解中的公式法。之前我们学了用平方差公式分解因式，它源于整式乘法中的平方差公式，将其左右交换就得到了因式分解的平方差公式。现在来看因式分解中的完全平方公式，同样是把整式乘法中的完全平方公式左右交换得到以下两个等式：

　　等式左边是两个数的平方和，比如(a^2)、(b^2)，再加上或减去这两个数积的两倍，即(2ab)。也就是说，公式左边的多项式必须具备“两个数的平方和加上或减去这两个数积的两倍”这样的特征，才能等于这两个数和或差的平方。这里的“两个数”指的就是前面平方项的底数(a)和(b)，和对应加，差对应减，二者相对应。这样就把整式乘法的完全平方公式等号两边颠倒，得到了因式分解的完全平方公式。在数学里，我们把这两个式子称为完全平方式。

　　我们再来看看完全平方公式的特点。它的左边是一个三项式，与平方差公式不同，平方差公式左边是二项式。完全平方式的三项式中，有两个项同号，因为即便这两个平方项前面都是负号，也可以把负号提取出来，使这两项成为一个整式的平方，这两项就是平方项。另一个项是平方项底数积的两倍，叫做乘积项，其符号可正可负。右边等于两个整式，也就是平方项底数和或差的平方，中间符号与左边乘积项的符号一致。

　　下面通过具体例子来体会，看看下列各式是不是完全平方式。

　　第一个式子，它是三项式，有平方项(a^2)，(4 = 2^2)，(4a = 2×a×2)，是两个平方项底数积的两倍，符号也符合特征，所以它是完全平方式。

　　第二个式子，有平方项(x^2)，((2y)^2)，但中间项(2x)少了(y)，所以它不是完全平方式。

　　第三个式子，(4a^2 = (2a)^2)，中间项(2×2a×b)，是两个平方项底数积的两倍，符合完全平方和的特点，是完全平方式。

　　第四个式子，很明显少了两倍，不是完全平方式。

　　第五个式子，两个平方项前面符号一正一负，不相同，不是完全平方式。

　　第六个式子，(0.25 = (\frac{1}{2})^2)，中间项可写成(2×a×\frac{1}{2})，是两个底数积的两倍，符号也符合特点，是完全平方式。

　　方法总结：分解因式的完全平方公式，左边是二次三项式，有两个数的平方和以及这两个数积的两倍或其相反数，符合这些特征就能化为右边两数和或差的平方，达到分解因式的目的。

　　下面看例子：

　　第一个例子，有平方项(x^2)和(7^2)，中间项正好是(x)和(7)积的两倍，符合完全平方和的特点，分解为((x + 7)^2)。

　　第二个例子，(9 = 3^2)，中间项是(2×(m + n)×3)，是两个平方项底数积的两倍，符号也符合，所以等于((m + n - 3)^2)。

　　第三个例子，看似没有平方项，仔细观察发现有公因式(3A)，提取公因式得(3A(x^2 + 2xy + y^2))，后面的因式还可用完全平方公式继续分解为(3A(x + y)^2)。这里要强调，拿到一个多项式进行因式分解，首先看有没有公因式，有公因式一定要先提取公因式。

　　第四个例子，有平方项，但符号都是负的，先提取负号，(-(x^2 - 4xy + 4y^2))，提取负号后括号内各项变号，再用完全平方公式分解为(-(x - 2y)^2)。

　　通过这些例子，要注意：一是辨别式子是否为完全平方式，能否用完全平方公式分解；二是有公因式先提公因式；三是注意平方项前面的符号，若为负先提取负号，提取时括号内每一项符号要改变。

　　到现在，我们学习了多种因式分解方法，有提公因式法、平方差公式法、完全平方公式法。因式分解一般步骤可概括为“一提二套三查”。“一提”，若多项式各项有公因式，首先考虑提取公因式；“二套”，提公因式后或无公因式可提时，考虑运用平方差公式或完全平方公式分解；“三查”，因式分解要分解到不能分解为止，检查每个因式是否还能继续分解，还要检查各个因式是否可化简，比如有无同类项可合并，同时要用整式乘法检验因式分解是否正确。