师：朋友们，前面我们研究了平方差公式，发现运用它能直接写出一些特定多项式的积。今天我们来学习新的乘法公式——完全平方公式。首先，我们还是来计算一些多项式的积。

　　（同学们计算）

　　师：通过计算，大家发现这里面有什么规律呢？我们看等号左侧，是两个完全一样的多项式相乘，能写成平方的形式。等号右侧是三项，为什么是这三项呢？我们仔细观察。以第一个式子为例，这里的(p^2)，实际上是(p)乘以(p)得到的；这里的(1)，可以看成是(1)乘以(1)得到的。那么中间的(2p)是怎么形成的呢？是(p)乘以(1)与(1)乘以(p)相加得到的，也就是(2)乘以(p)乘以(1)。

　　我们再以第二个式子((m + 2)×(m + 2))为例，(m^2)可以看成是(m)乘以(m)得到的，也就是前面这个数(m)平方；后面的(4)可以看成是(2)乘以(2)得到的。那么中间的(4m)是怎么回事呢？实际上是第一个(m)乘以(2)与(2)乘以(m)相加形成的，由于这两个一样，所以可以写成(2)乘以(m)乘以(2)，也就是这里的(4m)。也就是说，从这些式子中我们可以看到，中间项就是这两数相乘再乘以(2)。

　　以第四个式子为例，(m^2)可以看成是(m)平方，(4)可以看成是(( - 2))平方，这里的(-4m)，就可以看成是(2)乘以(m)乘以(-2)，因为(m)要乘(-2)，(-2)也要乘以(m)，最后相加，等同于(m)和(-2)相乘的两倍。

　　由此，我们能根据这样的特征再写几个吗？比如说((3 - 2a)^2)。根据刚才的猜想，前面应该有一个(3)的平方，后面应该有一个((2a))平方，也就是(4a^2)，中间是(3)与(-2a)相乘，(-2a)与(3)相乘然后加起来，等同于(3)与(-2a)乘积的两倍，即(-2×3×2a)，把负号放到前面，加号照抄。

　　同学们，从中能发现怎样的规律吗？显然，我们可以用((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2)，((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2)来表达。那么这样的猜想正确吗？怎么说明它的正确性呢？我们可以用代数运算的方式证明。

　　((a + b)^2)可以理解为((a + b)×(a + b))，这是乘方的意义。根据多项式乘以多项式的法则展开，我们发现中间两项一样，所以是乘积的两倍。同样的道理，((a - b)^2)也可以这样证明。首先根据乘方的意义拆开，然后根据多项式乘法展开，我们发现(-ab)和(-ab)一样，因此可以看成是(-ab)的两倍，所以中间就变成了(-2ab)，而第一个式子中间是(+2ab)，其他全部相同。

　　刚才我们通过发现、猜测、证明得到了一个一般性的公式，这个公式我们称为完全平方公式。为什么叫完全平方公式呢？因为等号左边是两个整体完全平方的形式，我们根据它的形式特征起的名字。

　　大家能用文字语言叙述这个特征吗？可以描述为：两数和或者差的平方，等于它们的平方和，再加上或者减去它们积的两倍。前面是加，中间也是加；前面是减，中间也是减号。

　　为了帮助大家记住这个公式，老师给个口诀：对于一个完全平方，一定会出现前面一项和后面一项，前面这一项叫首，后面这一项叫尾。首平方得到(a^2)，尾平方得到(b^2)，中间是乘积的两倍，(a)乘(b)，中间就是(+2ab)；如果是(a - b)，那么就是(-2ab)，也可以把这个负号当作减号补在后面。

　　大家能通过右边这个图形的面积，类比平方差公式给它一个几何解释吗？

　　对于第一个公式((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2)，我们可以这样解释：这是一个最大的正方形，它由四个小的矩形（长方形）组成。把它拆开来，这一块是(a^2)，这一块是(a×b)，右下角那一块也是(a×b)，还剩最后一块是(b^2)。这四块合起来正好等于左侧最大图形的面积，而最大图形的面积可以用((a + b)^2)来表示，从而说明第一个公式的正确性。

　　对于第二个公式((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2)，我们该怎么解释呢？注意看左下角那块图形的面积，它可以理解为最大的正方形（红颜色的）面积是(a^2)。把它剪掉上面一大块，面积是(ab)，再减去右侧一大块长方形，面积还是(ab)。不过有的同学发现，右上角这一块被剪了两次，所以得补偿它一下，再加上这一块图形的面积。由此可见，左下角那块小正方形的面积可以看成是这些图形的和差。而左下角正方形的面积可以表示为((a - b)^2)，从而说明第二个公式的正确性。

　　下面我们来看这个公式的有关运用。

　　第一个式子((4m + n)^2)，完全符合完全平方公式，公式中的(a)就是(4m)，(b)就是(n)，所以((4m + n)^2)可以对应理解为((a + b)^2)。根据公式，它应该是(a^2 + 2ab + b^2)，那么(a^2)对应((4m)^2)，(2ab)对应(2×4m×n)，(b^2)对应(n^2)。把符号补上，因为是加，所有符号都是加。完整解答过程：首平方((4m)^2)，尾平方(n^2)，乘积两倍放在中间，合并同类项或者进一步化简。

　　再看第二个式子，它完全符合第二个公式((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2)，所以可以直接看到结果。首平方(y^2)，尾平方((\frac{1}{2})^2)，乘积两倍放中间，因为是减号，所以要减去(2×y×\frac{1}{2})，然后化简。

　　大家都学会了吗？我们来做简单的练习。选做题是给学有余力的同学做的。

　　（同学们做题）