师：同学们，我们来看这样一道题目，涉及同底数幂的乘法，比如乘以(3)的二次幂，底数(3)不变，指数相加得到(3)的(6)次幂。这样计算的依据是什么呢？是同底数幂相乘的性质，即同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

　　大家再看这样一组题：

　　第一小题，(3)的二次幂的三次方，根据乘方的意义，它等于(3)个(3)的二次幂相乘，也就是(3)的二次幂乘以(3)的二次幂再乘以(3)的二次幂，然后用同底数幂的乘法规则，得到(3)的六次幂。

　　第二小题，将底数一般化为字母(a)，同样根据乘方的意义，(3)个(a)的二次幂相乘，依据同底数幂的乘法，等于(a)的(6)次幂。

　　第三小题，将幂的指数进一步一般化，还是根据乘方的意义，(3)个(a)的(m)次幂相乘，根据同底数幂的乘法，得到(a)的(3m)次幂。

　　大家观察这些式子的形式，左边底数都是幂的形式，属于幂的乘方。再看运算过程和结果，(3)个(3)的二次幂其实就是(3)的(2)乘以(3)次幂，得到(3)的六次幂；(3)个(a)的二次幂相乘就是(a)的(2)乘以(3)次幂，得到(a)的(6)次幂；(3)个(a)的(m)次幂相乘就是(a)的(m)乘以(3)次幂，得到(a)的(3m)次幂。也就是说，底数不变，指数相乘。那你们能写出一个幂的乘方的一般形式吗？

　　生：(a)的(m)次幂的(n)次方。

　　师：对，(a)的(m)次幂的(n)次方，它就是(n)个(a)的(m)次方相乘。根据同底数幂的乘法性质，就等于(a)的(n)个(m)相加次幂，也就是(a)的(mn)次幂。这就是幂的乘方的性质：幂的乘方，(a)的(m)次幂的(n)次方等于(a)的(mn)次幂，乘方时底数不变，指数相乘。这里的(m)、(n)都是指相同底数的个数，所以它们都是正整数。

　　下面我们运用幂的乘方，底数不变，指数相乘这个性质来解决一组计算题。

　　第一小题，幂的乘方，底数不变指数相乘，指数(3)乘以(5)得(15)，结果是(10)的(15)次幂。

　　第二小题，同样属于幂的乘方，用性质，底数不变指数(4)乘以(4)，得到(a)的十六次幂。

　　第三小题，经观察也是幂的乘方，所以底数(a)不变，指数(m)乘以(2)，得到(a)的(2m)次幂。

　　第四小题，这个负号可以看成是(x)的(4)次幂的(3)次方的相反数，所以原式等于负的(x)的(4)乘以(3)次幂，即负的(x)的(12)次幂。

　　好了，下面我们再来看例(2)。

　　第一小题，我们可以先确定符号，指数是(4)次方，结果是正号。同时可以把底数看成是一个整体，所以原式等于([(m - n)^3]^4)，把(m - n)看作整体不拆开。这时候运用幂的乘方，底数不变指数相乘，得到((m - n))的(3)乘以(4)次幂，也就是((m - n))的(12)次幂。

　　第二小题，这是一个混合运算，既有幂的乘方，又有乘法，所以要注意运算顺序。先算幂的乘方，原式等于(a)的(2)乘以(3)次幂，再乘以(a)的(5)次幂，即(a)的(6)次幂乘以(a)的(5)次幂。接下来会发现这是同底数幂的乘法，底数不变指数(6)与(5)相加，得到(a)的(11)次幂。

　　第三小题，同样要注意运算顺序，虽然指数中含有字母，但不影响我们使用性质。原式等于(a)的(3m)次幂乘以(a)的(2(m + 1))次幂，再用同底数幂的乘法法则，得到(a)的(3m + 2(m + 1))次幂，化简后得(a)的(5m + 2)次幂。

　　这是一道关于幂的运算的综合运用，同学们运用的时候要注意运算顺序和准确运用法则。下面请同学们再看这样一道题：已知(2)的(m)次幂等于(32)，(n)次幂等于(4)，求(2)的(3m + 2n)次幂的值。这道题是对幂的乘方和同底数幂乘法的性质逆向运用。先要把所求的代数式转化成能用已知代数式代入计算的形式。因为指数是和的形式，所以可以转化成同底数幂的乘法，也就是原式等于(2)的(3m)次幂乘以(2)的(2n)次幂。再利用幂的乘方性质，转化为(2)的(m)次幂的(3)次方乘以(2)的(n)次幂的平方。最后代入计算得

　　因为(2^m = 32 = 2^5)，所以(m = 5)；(2^n = 4 = 2^2)，所以(n = 2)。

　　则(2^{3m + 2n} = 2^{3×5 + 2×2} = 2^{15 + 4} = 2^{19})。

　　好，这是刚刚我们所学的幂的乘方及其运用。下面请大家再看这样一个实际问题，已知一个正方体的棱长为(2×10)的三次幂厘米，求它的体积。体积(V)等于棱长的立方，根据乘方的意义，原式等于(3)个(2×10)的三次幂相乘。再运用乘法的交换律结合律，得到((2×2×2)×(10^3×10^3×10^3))。由乘方的意义可以写成(2)的(3)次幂乘以(10)的(9)次幂，也就是等于(8×10)的(9)次幂。