师：同学们，前面我们学习了多项式与多项式相乘。其实，对于一些特殊的多项式相乘，我们可以运用公式直接写出结果。今天，我们就来研究乘法公式中的第一个公式——平方差公式。

　　首先，我们来计算二项式((a + b))与二项式((c + d))的积。根据多项式乘法法则，先用(a)乘以(c)得到(ac)，再用(a)乘以(d)得到(ad)，接着用(b)乘以(c)得到(bc)，最后用(b)乘以(d)得到(bd)。很明显，它的结果有四项。一般来说，二项式乘以二项式，在不考虑合并同类项的情况下，结果应该是四项。

　　接下来，我们计算几个特殊的多项式的积，并校对一下大家的计算结果。你们都算对了吗？我们知道二项式乘以二项式结果应该是四项，可这里的结果都只有两项。这说明这些多项式相乘存在特殊规律，那它们有什么规律呢？我们仔细观察。

　　先看等号左侧，这两个二项式只有中间符号不同，一个是加，另一个就是减，其他部分完全一样。比如第二个式子，前面是((m + 2))，后面括号就是((m - 2))；同样，第四个式子，前面是((x + y))，后面括号里是((x - y))。再看等号右侧，以第二个式子为例，实际上是(m)平方，(2)平方，然后取它们的差；第四个式子就是把前面的(x)平方，后面的(5y)平方，最后取差，得到(x^{2} - 25y^{2})。

　　像这样的例子还有很多，比如((3x + 1))乘以((3x - 1))，根据其特殊性质，我们可以猜想结果是(9x^{2} - 1)。由此，我们猜想用等式((a + b)(a - b) = a^{2} - b^{2})来描述这种规律。这个猜想正确吗？我们可以用多项式相乘的方法将((a + b)(a - b))展开，根据多项式乘法法则，展开后中间两项互为相反数，正好抵消，合并同类项后就得到了上述结果，看来我们的猜想是正确的。

　　刚才我们从发现、猜测到证明，得到了一个公式性结论，这个公式就是平方差公式。用文字语言叙述为：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。这个公式为什么叫平方差公式呢？因为等号右侧是两个数平方之差，我们根据这种形式特征来命名。

　　你们能根据右边这幅图的面积说明平方差公式是正确的吗？首先，红色图形的面积可以用最大正方形的面积(a^{2})减去右下角白色正方形的面积(b^{2})。那这个红色图形的面积怎么用((a + b)(a - b))来表示呢？我们可以把右下方部分截一下，将下面这块旋转贴到右侧。这时可以看到，原来最上方大长方形的宽是((a - b))，刚才移动的长方形的长也是((a - b))，把它移过去后，两个小长方形正好拼成一个大长方形。此时这个长方形的长可看成((a + b))，宽是((a - b))，所以它可以用((a + b)(a - b))表示阴影部分面积，显然这与之前图形面积相等，从而巧妙地证明了平方差公式。

　　对于平方差公式，我们既可以用多项式与多项式相乘的代数方法证明，也可以用这种几何方法证明，不过几何法证明中(a)和(b)只能表示正数。下面来看公式的实际应用。

　　观察第一个问题((3x + 2)(3x - 2))，它形如平方差公式。这里的(3x)相当于公式中的(a)，(2)相当于公式中的(b)，((3x + 2))可理解为((a + b))的形式，((3x - 2))可理解为((a - b))的形式。根据公式，它应该等于(a^{2} - b^{2})，对应回来，(a^{2})就是((3x)^{2})，(b^{2})就是(2^{2})，减号照抄，完整解答过程为((3x)^{2} - 2^{2} = 9x^{2} - 4)。

　　再看第二个问题，公式中的(a)在这里对应的是(-x)，(b)对应的是(2y)。第一个括号可当做((a + b))，第二个括号对应((a - b))。根据公式它等于(a^{2} - b^{2})，对应回来就是((-x)^{2} - (2y)^{2})，减号照抄，完整解答过程如下。

　　下面看几个练习，选做题是针对数学基础较好、爱思考的同学。我们来校对一下大家的运算结果。

　　对于第一个，很容易看出这里的(a)就是公式中的(a)，公式中的(b)就是(3b)，所以它等于(a^{2} - (3b)^{2})，计算得(a^{2} - 9b^{2})。

　　第二个，公式中的(a)在这里对应的是(-3a)，所以(a^{2})就是((-3a)^{2})，公式中的(b)是(2)，因此是((-3a)^{2} - 2^{2})，化简得(9a^{2} - 4)。

　　第三、第四个，有些同学觉得困难。以((3 + 2a)( - 3 + 2a))为例，我们把它变形为((2a + 3)(2a - 3))，运用加法交换律交换两项顺序，就发现它满足前面必做题的形式，所以它等于((2a)^{2} - 3^{2})，即(4a^{2} - 9)。