师：好，同学们，大家好，今天我们一起来学习探究比例的性质。同学们在小学就学过比例的基本性质，例如 3 : 4 = 6 : 8，在这个比例中，3×8 = 4×6。如果 4 个不为 0 的数 a、b、c、d，a 与 b 的比等于 c 与 d 的比，即 a : b = c : d 。那么 a : c 与 b : d 的值，以及 b : a 与 d : c 的值是否也相等呢？这节课我们就继续来探究比例的性质。

　　第一个问题，找一组不为 0 的数 a、b、c、d，使得 a : b = c : d 成立。思考 a、b、c、d 之间会存在怎样的数量关系呢？不妨取 a = 1、b = 2、c = 3、d = 6 。很明显能看到 1×6 = 2×3 ，所以可以得出 ad = bc 。接下来推导一下这个结论。根据等式的性质，在已知条件 a : b = c : d 两边同时乘以 bd ，左边约去 b 得到 ad ，右边约去 d 得到 bc 。从而得出比例的基本性质：若 a : b = c : d ，则 ad = bc 。

　　第二个问题，利用刚才所选的数据进行探究，能发现 c 分之 a 和 d 分之 b ，a 分之 b 和 c 分之 d 这两组分式的值之间的关系吗？多找几组这样的数试一试，看看能得到什么。就利用刚才取的四个数 1、2、3、6 ，先看第一个分式 c 分之 a ，结果是 1 / 3 ，而 d 分之 b 代入是 2 / 6 ，化简后也是 1 / 3 。很明显这两个分式的值相等。同样，通过代入还会发现 a 分之 b 和 c 分之 d 这两组值也相等。从而得出结论：在 b 分之 a = d 分之 c 的前提下，可以得到 c 分之 a = d 分之 b ，a 分之 b = c 分之 d 。

　　接下来利用分式的基本性质以及一些运算法则来证明。首先，由 b 分之 a = d 分之 c ，根据刚才所学的比例基本性质，可先得到 ad = bc 。然后在这个等式两边同时除以 cd ，就得出 a : c = b : d ，第一个式子得证。同样，在 ad = bc 这个等式两边同时除以 ac ，又能得出 b : a = d : c 。

　　所以得到关于比例的两条重要性质，一个是更比定理，还一个是反比定理。也就是说，如果 a : b = c : d ，则 a : c = b : d ，这叫比例的更比定理。而如果 a : b = c : d ，能得到 b : a = d : c ，把这个定理叫做比例的反比定理。

　　继续探索第三个问题，还是利用刚才这组数值，思考 b 分之 a + b 与 d 分之 c + d 以及 b 分之 a - b 与 d 分之 c - d 这两组值之间的关系。仍然取刚才的四个数 1、2、3、6 。

　　先算第一组值，b 分之 a + b 代入，即 1 / 2 + 2 ，结果是 3 / 2 ，后面 d 分之 c + d 代入是 3 / 6 + 6 ，化简后也是 3 / 2 ，所以这两组值相等。同样方法，代入后面两个算式，算出 b 分之 a - b 是 - 1 / 2 ，而 d 分之 c - d 化简后也是 - 1 / 2 ，它们两个也相等。

　　接下来推导这两个结论。第一个，已知 b 分之 a = d 分之 c ，求证 b 分之 a + b = d 分之 c + d 。观察已知条件和要证明的结论，b 分之 a + b 可拆分成两部分，前面是 b 分之 a ，后面是 b 分之 b ，而 b 分之 b 就是 1 。所以在已知条件两边同时加 1 ，再进行通分，得出 b 分之 a + b = d 分之 c + d 。这个结论是比例的一条重要性质，叫做比例的合比定理，即若 b 分之 a = d 分之 c ，则 b 分之 a + b = d 分之 c + d ，特点是把分子变为分子与分母的和，等式两边分子都这样变化，等式仍然成立。

　　继续看第二个结论，已知 b 分之 a = d 分之 c ，求证 b 分之 a - b = d 分之 c - d 。刚才证明加的时候是两边加 1 ，现在分子变成减，类比刚才的证明方法，在等式两边同时减去 1 ，通分后就得到 b 分之 a - b = d 分之 c - d 。这也是比例的一条重要性质，称之为比例的分比定理，即若 b 分之 a = d 分之 c ，则 b 分之 a - b = d 分之 c - d 。

　　再看问题四，请按照上述探究过程继续探究下列两个分式是否也相等并证明。还是先将刚才四个数据代入，左边 a - b 分之 a + b ，即 1 - 1 / 2 + 2 ，结果左边是 - 3 ，右边 c - d 分之 c + d 就是 3 - 3 / 6 + 6 ，算下来是 - 9 / 3 ，化简后也是 - 3 ，所以这两个式子相等。

　　下面进行推导。已知条件是 b 分之 a = d 分之 c ，根据合比定理可得 b 分之 a + b = d 分之 c + d ，根据分比定理又能得出 b 分之 a - b = d 分之 c - d 。然后利用更比定理，将两个式子中的内项交换位置，得出 c + d 分之 a + b = d 分之 b ，同理后面也是利用更比定理。注意到这两个比中都出现了 d 分之 b ，根据等量代换，得到 c + d 分之 a + b = c - d 分之 a - b 。最后再利用更比定理，就能得到 a - b 分之 a + b = c - d 分之 c + d 。这是比例当中的一条重要性质，叫做合分比定理，即若 b 分之 a = d 分之 c ，则 a - b 分之 a + b = c - d 分之 c + d ，特点是原来比中的分子变为分母与分子的和，分母变成分子与分母的差，两边同时这样变化，等式仍然成立。