师：同学们，数学源于生活又应用于生活，二者相辅相成。生活处处皆数学，大家要做生活的有心人。今天，老师就带大家走进平面镶嵌的世界。同学们平时见到的地板砖和墙面砖都有哪些形状？联系本章刚学的内容，能想到哪些数学问题呢？

　　生：可能会想到多边形的内角和与外角和。

　　师：非常好。现在，我们再来观察欣赏这些美丽的图案，它们有什么共同特点呢？

　　生：用于拼接的图案都是平面图形；拼接处没有空隙、没有重叠；铺成的图案能把一个平面完全覆盖。

　　师：没错，具备这些条件的就是今天要学的平面镶嵌。平面镶嵌的概念是，用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，这类问题也叫多边形覆盖平面。那思考一下，要用几个形状大小完全相同的图形，不留空隙、不重叠地镶嵌一个平面，需要具备怎样的条件呢？首先研究用形状大小相同的任意三角形能否进行平面镶嵌，大家可以用手头的三角形拼接试试。

　　（学生尝试拼接）

　　师：老师这里也拼接好了，和同学们的一样吗？我们知道任意一个三角形内角和为180度，所以从一个顶点处用六个完全相同的三角形就可以进行平面镶嵌。那么用形状大小相同的四边形能否进行平面镶嵌呢？

　　生：能，因为任意四边形内角和为360度，从一个顶点处用四个完全相同的四边形就可以进行平面镶嵌。

　　师：那用几个形状大小完全相同的图形能进行镶嵌的条件是什么呢？

　　生：需使得拼接点处的各角之和为360度。

　　师：接下来研究正多边形平面镶嵌的条件。在边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形中取一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形可以进行平面镶嵌呢？

　　生：用边长相同的正三角形可以进行平面镶嵌。

　　师：观察得很仔细。因为一个正三角形每一个内角为60度，从顶点处可以用6个全等的正三角形能进行平面镶嵌。同样，用相同的正四边形，也就是正方形能否进行镶嵌呢？

　　生：能，因为一个正方形每一个内角为90度，从一个顶点处用四个正方形就可以进行平面镶嵌。

　　师：那用边长相同的正五边形呢？同学们拼拼看。

　　生：拼不了。

　　师：能说说其中的道理吗？

　　生：正五边形每一个内角为108度，图中角一加角2加角3的和是108度乘以3等于324度，再加一个108度的和大于360度，会出现重叠部分，不满足平面镶嵌条件。

　　师：非常好。那用边长相同的正六边形呢？

　　生：因为正六边形每一个内角为120度，从一个顶点出发，用三个正六边形就可以进行平面镶嵌。

　　师：所以，通过刚才研究用一种正多边形镶嵌，我们发现正三角形、正方形、正六边形都能进行平面镶嵌，而正五边形不能。能用正多边形镶嵌成一个平面的关键，是正多边形的一个内角的度数是否是360度的约数，60度、90度、120度都是360度的约数，而108度不是。研究了一种正多边形能进行平面镶嵌，接下来研究用两种正多边形进行镶嵌的组合。在边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形、正十边形、正十二边形中取两种正多边形进行镶嵌，条件是什么呢？我们先从最简单的正三角形的组合开始研究。先看正三角形与正方形，正三角形和正方形每一个内角分别是60度和90度。设在一个顶点周围有m个正三角形的角和n个正方形的角，如果它们能进行平面镶嵌，所有这些角的和应满足方程m×60度 + n×90度 = 360度，化简此方程得2m + 3n = 12，方程的正整数解唯一，m = 3，n = 2。也就是说用3个正三角形和两个正方形可以进行平面镶嵌。那正三角形和正六边形的组合能进行平面镶嵌吗？同样的方法，设在一个顶点周围有m个正三角形的角，n个正六边形的角，这些角需满足m×60度 + n×120度 = 360度，化简方程为m + 2n = 6，方程的正整数解有两组，m = 4，n = 1或者m = 2，n = 2。也就是用四个正三角形和一个正六边形或者两个正三角形、两个正六边形可以进行平面镶嵌。接下来研究正三角形和正十二边形，同学们先尝试计算一下它们可以进行平面镶嵌吗？有哪些情况？