师：好，同学们，接下来我们学习因式分解中的提公因式法。通过整式乘法，我们知道(x(x + 1)=x^{2}+x)，将其倒过来，就得到(x^{2}+x = x(x + 1))。同样，根据平方差公式((a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2})，倒过来就是(a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b))。像这样，把一个多项式(x^{2}+x)、(a^{2}-b^{2})化为几个整式的积的形式，上面化为(x)与(x + 1)的积，下面化为((a + b))与((a - b))的积，这种式子变形，我们称之为这个多项式的因式分解，也叫把这个多项式分解。

　　因式分解与整式乘法紧密相关，它们是方向相反的变形。比如((a + b)(a - b))得到(a^{2}-b^{2})，这是整式乘法；反过来，由(a^{2}-b^{2})得到((a + b)(a - b))，这就是因式分解。整式乘法是多项式乘以多项式，或者单项式乘以多项式，是积化和；而因式分解则是和化为积。所以，我们可以用整式乘法来检验因式分解的正确性。

　　检验因式分解正确性要注意三点：第一，因式分解专指多项式的恒等变形，等式左边必须是多项式，也就是因式分解的对象是多项式，右边每个因式必须是整式，即单项式或者多项式；第二，因式分解的结果必须以积的形式表示，否则就不是因式分解；第三，因式分解中的每个括号内若有同类项要合并，也就是要化简，且结果必须将每个因式分解彻底。

　　例题一：下列各式由左边到右边的变形中，哪些是因式分解？判断方法是：第一看左边是否是多项式，第二看右边是不是积的形式，且每一个因式是不是都是整式。由此判断，A 显然不是，B 也不是，因为 B 的结果是和，D 当然也不是，所以本题应选 C。

　　接下来看公因式的概念。多项式的各项中都含有的公共因式，叫做这个多项式各项的公因式。比如多项式(pa + pb + pc)，每一项都有公共因式(p)，所以(p)就是这个多项式各项的公因式。

　　确定多项式公因式的方法：分三步，一看系数，二看字母，三看指数。取各项系数的最大公约数作为公因式的系数；对于字母，要取各项相同的字母，且各相同字母的指数取次数最低次幂；最后根据情况确定公因式的符号，若首项是负的，公因式中通常带负号。

　　例如，对于多项式(6a^{3}b^{2}-3a^{2}b^{2}-12a^{2}b^{3})，确定其公因式。先看系数，(6)、(3)、(12)的最大公约数是(3)；再看字母，各项都含有的字母是(a)和(b)；最后看指数，(a)的最低指数是(2)，(b)的最低指数是(2)，所以它的公因式是(3a^{2}b^{2})。

　　提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积形式，这种分解因式的方法就叫做提公因式法。比如(pa + pb + pc)，把公因式(p)提出来，另一个因式就是((pa + pb + pc)\div p)。

　　提公因式的步骤：第一，确定公因式，这是关键；第二，用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式；第三，把多项式写成这两个因式的积的形式。

　　通过具体例子来看如何提公因式：

　　例一，对于多项式(12x^{2}y - 18xy^{2}-24x^{3}y^{3})，先确定公因式。系数(12)、(18)、(24)的最大公约数是(6)；字母是(x)和(y)；(x)的最低指数是(1)，(y)的最低指数是(1)，所以公因式是(6xy)。写出来公因式后，用各项除以(6xy)，第一项剩(2x)，第二项剩(-3y)，第三项剩(-4x^{2}y^{2})，即分解为(6xy(2x - 3y - 4x^{2}y^{2}))。我们可以用整式乘法检验，乘开后是(12x^{2}y - 18xy^{2}-24x^{3}y^{3})，与原多项式一样，说明因式分解正确。