师：好，同学们，本节课我们围绕第十四章上一节习题课。首先回顾整式乘法和因式分解的关系，它们既有联系又有区别。整式乘法是将积的形式变形为和的形式，而因式分解是将和的形式变形为积的形式，二者是相反方向的变形。接下来看其应用。

　　类型一：化简求值问题

　　师：先来看这样一条多项式，要求先化简再求值。观察它的特点，可以利用平方差公式、单项式乘多项式的法则以及完全平方公式将其展开，然后去括号、合并同类项，得到(-2x^{2} - 2x - 10)。这里一定要化简到最简形式，即没有括号且没有同类项。

　　师：怎样将这个结果与已知条件(x^{2} + x - 2020 = 0)产生联系呢？由(x^{2} + x - 2020 = 0)可变形得到(x^{2} + x = 2020)。我们发现结果的前两项只要把(-2)提出来，就可以得到一个因式(x^{2} + x)，然后把(2020)代入，就得到结果(-4050)。这里运用了整体思想得到答案。

　　类型二：长方形相关问题

　　师：看类型二。读题，一个长方形面积是(60)平方厘米，长方形面积等于长乘宽，即(长×宽 = 60)。分别以它的长和宽为边长的两个正方形面积和是(136)平方厘米，也就是(长^{2} + 宽^{2} = 136)。现在要求长方形的周长，把长和宽加起来再乘以(2)即可。这里可以用方程思想解决问题。

　　师：注意解题格式。首先设长方形的长为(a)厘米，宽为(b)厘米，这样就可以列出两个方程(ab = 60)，(a^{2} + b^{2} = 136)。这个方程组不是二元一次方程组，我们最终要求(a + b)的值，怎么求呢？观察发现(a)、(b)，(a^{2} + b^{2})以及(a + b)在完全平方公式里有联系。我们知道((a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2})，把(60)和(136)代入，可得((a + b)^{2} = 136 + 2×60 = 256)，所以(a + b = 16)，这里要注意结果取正数，因为长方形边长不能为负。若没有实际背景，(a + b)还有(-16)这个值，要小心。

　　师：回顾这道题，完全平方公式在这里充当隐含条件，要根据题目条件和问题，发现需要这条公式，再拿来使用，从而得出长方形周长为(32)。

　　类型三：乘法公式的应用

　　师：看类型三乘法公式的应用。第一题，若(x^{2} + 2ax + 36)是完全平方式，书本上对完全平方式的描述是形如(a^{2} ± 2ab + b^{2})的式子。所以在(x^{2} + 2ax + 36)中，(2a = ±12)，则(a = ±6)，这题比较简单。

　　师：第二题，如果(\vert x - y + 1\vert + (x + y - 5)^{2} = 0)，两个非负数的和为(0)，我们可以得到(x - y + 1 = 0)，(x + y - 5 = 0)。简单变形可得(x - y = -1)，(x + y = 5)。

　　师：有些同学可能会说，马上把(x)、(y)的值求出来再代入就可得到答案，非常聪明。用今天所学知识，我们发现(x^{2} - y^{2} = (x + y)(x - y))，利用整体思想，把(x + y = 5)，(x - y = -1)代入，可得这个式子的结果是(-5)。

　　师：看第三题，已知(m)、(n)为有理数，(m^{2} + 2m + n^{2} - 6n + 10 = 0)，要求(m)和(n)的值。观察等式左边，感觉到完全平方式的存在，但不是直接呈现的。比如(m^{2} + 2m)需要加上(1)，(n^{2} - 6n)需要加上(9)，而(10)正好可分成(1)和(9)，这样就可将其转化为((m + 1)^{2} + (n - 3)^{2} = 0)的形式。从刚才第二小题可得到提示，当等式右侧等于(0)时，左侧若能转化为两个非负数的和，就可得到它们分别为(0)的形式，从而得出(m = -1)，(n = 3)。

　　师：第四题，已知(a = 2019x + 2018)，(b = 2019x + 2019)，可发现(b)比(a)大(1)，即(a - b = -1)。(c = 2019x + 2020)，可知(c)比(b)大(1)，(b - c = -1)，(c)比(a)大(2)，(a - c = -2)。

　　师：要求(a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - ac - bc)的值，观察其特点，看到平方和与积，联想到完全平方公式，但积前面没有(2)倍，所以要进行构造。在原式整体上乘(2)，为保证恒等变形，分子乘(2)分母就要除以(2)，再把分子展开，每一个(2)倍的积配两个平方和，得到(\frac{(a - b)^{2} + (a - c)^{2} + (b - c)^{2}}{2})。把(a - b = -1)，(b - c = -1)，(a - c = -2)代入，可得到结果(3)，所以本道题目选(d)，同学们做对了吗？