师：同学们，今天我们一起复习整式的乘法。首先来看下面的计算对不对，如果不对，应当怎样改正？

　　第一题，利用同底数幂乘法运算性质，$b^3$乘$b^3$应等于$b^{3 + 3}$，即$b^6$，而不是$b^3$。

　　第二题，同样依据同底数幂乘法运算性质，$x^4$乘$x^4$等于$x^{4 + 4}$，也就是$x^8$。

　　第三题，根据幂的乘方，$(a^5)^2$应该等于$a^{5×2}$，即$a^{10}$，而不是$a^7$。

　　第四题，根据积的乘方运算性质，$(AB^2)^3$等于$A^3$乘$B^{2×3}$，即$A^3B^6$，而不是$AB^6$。同时，利用积的运算性质时，要注意$(-2)^2$等于$4$，而不是$-4$。

　　第六题，利用同底数幂相除的运算性质，$a^6$除以$a^2$不等于$a^3$，应该是$a^{6 - 2}$，即$a^4$。

　　我们梳理一下所学过的幂的运算性质：

　　第一，同底数幂的乘法，符号语言为$a^m×a^n = a^{m + n}$（$m$、$n$都是正整数）。

　　第二，幂的乘方，符号语言为$(a^m)^n = a^{mn}$（$m$、$n$都是正整数）。

　　第三，积的乘方，$(AB)^n = A^n×B^n$（$n$为正整数）。

　　第四，同底数幂除法运算性质，$a^m÷a^n = a^{m - n}$（$a$不能为$0$，否则计算没有意义，$m$、$n$都是正整数，并且$m > n$）。

　　请同学们根据所学知识完成以下练习。

　　第一题，因为$a^{x + y} = 25$，出现指数相加形式，可考虑逆向使用同底数幂的乘法运算性质，$a^{x + y} = a^x×a^y = 25$。又因为$a^x = 5$，所以$a^y = 5$，那么$a^x + a^y = 10$。

　　第二题，本题中出现指数为$2m + 3n$以及$2m$和$3n$的形式。根据指数相加，逆向使用同底数幂乘法运算性质，$10^{2m + 3n} = 10^{2m}×10^{3n}$。再根据幂的乘方逆向使用，可得$10^{2m} = (10^m)^2$，$10^{3n} = (10^n)^3$。因为$10^m = 5$，$10^n = 3$，所以本题计算结果为$675$。

　　第三题，$(-3)^{2019}×(-\frac{1}{3})^{2021}$。本题指数较大且不相等，可将$(-\frac{1}{3})^{2021}$变形为$(-\frac{1}{3})^{2019 + 2}$，即$(-\frac{1}{3})^{2019}×(-\frac{1}{3})^2$。则原式等于$(-3)^{2019}×(-\frac{1}{3})^{2019}×(-\frac{1}{3})^2$。因为$(-3)^{2019}×(-\frac{1}{3})^{2019}$指数相同，可逆向使用积的乘方得到$[(-3)×(-\frac{1}{3})]^{2019}×(-\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$。

　　幂的运算性质既可以正向使用，也可以逆向使用。小结如下：

　　同底数幂乘法运算性质逆向使用为$a^{m + n} = a^m×a^n$；

　　幂的乘方，$(a^m)^n = a^{mn}$（$m$、$n$是正整数），逆向使用为$a^{mn} = (a^m)^n = (a^n)^m$；

　　积的乘方，$(AB)^n = A^n×B^n$，逆向使用为$A^n×B^n = (AB)^n$（$n$是正整数）；

　　同底数幂相除运算性质逆向使用为$a^{m - n} = a^m÷a^n$。

　　同时，在探究学习同底数幂除法运算性质时，规定任何一个不等于$0$的数的$0$次幂都等于$1$。解决具体问题时，同学们需灵活运用。请完成巩固练习。

　　第一题，计算结果选$x^5$，选A。

　　第二题，D选项$x^3$乘$x^2$应该等于$x^5$，选D。

　　第三题考查积的乘方。本题带有负号，计算时要注意符号。首先$(-3)^4 = 81$，再考虑前面的负号，结果为$-81a^8b^{12}$，选D。

　　根据刚才的经验继续完成下面两题。

　　第一题，因为$x^{2m + 3n} = x^{2m}×x^{3n} = (x^m)^2×(x^n)^3 = \frac{27}{4}$。