师：同学们，前面我们学习了分式的运算，今天来研究整数指数幂。先看本堂课的学习目标：一、理解负整数指数幂的意义；二、掌握整数指数幂的运算性质。同学们还记得正整数指数幂的意义吗？a的n次方等于n个a相乘，n为正整数。那正整数指数幂有哪些运算性质呢？我们一起回忆一下。

　　- 同底数幂的乘法：a的m次方乘a的n次方等于a的m + n次方，m、n是正整数。

　　- 幂的乘方：a的m次方的n次方等于a的mn次方，m、n是正整数。

　　- 积的乘方：(ab)的n次方等于a的n次方乘b的n次方，n是正整数。

　　- 同底数幂的除法：a的m次方除以a的n次方等于a的m - n次方，a≠0，m、n是正整数，且m＞n。

　　- 商或分式的乘方：(a/b)的n次方等于a的n次方/b的n次方，n是正整数。

　　- 零指数幂：当a≠0时，a的0次方等于1。

　　那a的m次方中指数m可以是负整数吗？如果可以，负整数指数幂a的m次方表示什么呢？我们先通过一个特例研究一下，请同学们计算a的3次方除以a的5次方。

　　生：根据分式的约分，当a≠0时，a的3次方除以a的5次方等于a的3次方/a的5次方，即a的3次方/(a的3次方×a的2次方)，等于1/a的2次方。

　　师：很好。另一方面，如果把同底数幂的除法法则中条件m＞n去掉，假设这个性质对a的3次方除以a的5次方这种情形也适用，那么a的3次方除以a的5次方就等于a的3 - 5次方，即a的 - 2次方。由计算发现a的 - 2次方等于1/a的2次方，a≠0。数学中规定，一般的，当n为正整数时，a的 - n次方等于1/a的n次方，a≠0，也就是a的 - n次方（a≠0）是a的n次方的倒数。这样引入负整数指数幂后，指数的取值范围就推广到全体整数。

　　下面我们进行一些整数指数幂的运算，请同学们思考第一题：3的0次方等于多少？3的 - 2次方等于多少？

　　生：3的0次方等于1，3的 - 2次方根据规定等于1/3的2次方，即1/9。

　　师：非常好。第二题， - 3的0次方等于多少？(- 3)的 - 2次方等于多少？

　　生： - 3的0次方等于1，(- 3)的 - 2次方等于1/(- 3)的2次方，即1/9。

　　师：正确。第三题，b的0次方等于多少？b的 - 2次方等于多少？（b≠0）

　　生：b的0次方等于1，b的 - 2次方等于1/b的2次方。

　　师：很好，请同学们继续思考第四题。(2/3)的 - 2次方等于多少？(- 2/3)的 - 2次方等于多少？

　　生：(2/3)的 - 2次方等于(3/2)的2次方，即9/4；(- 2/3)的 - 2次方等于(- 3/2)的2次方，也等于9/4。

　　师：完全正确。第五题，(2/3)的 - 3次方等于多少？(- 2/3)的 - 3次方等于多少？

　　生：(2/3)的 - 3次方等于(3/2)的3次方，即27/8；(- 2/3)的 - 3次方等于(- 3/2)的3次方，等于 - 27/8。

　　师：非常好。由此我们可以得到一个一般结论，当a、b≠0时，(a/b)的 - n次方等于(b/a)的n次方，a的 - n次方/b的 - m次方等于b的m次方/a的n次方。

　　将正整数指数幂的运算性质中，指数的取值范围由正整数扩大到整数，这些性质还适用吗？引入负整数指数幂和零指数幂后，我们先看看同底数幂的乘法，a的m次方乘以a的n次方等于a的m + n次方这条性质能否推广到m、n是任意整数的情形。

　　我们从特殊情形入手研究。例如，先取一正一负两个数，取m = 3，n = - 5，a的3次方乘以a的 - 5次方等于a的3次方/a的5次方，等于1/a的2次方，即a的 - 2次方，等于a的3 + (- 5)次方。此时同底数幂的乘法运算法则依然成立。我们再取两个负数，令m = - 3，n = - 5。a的 - 3次方乘以a的 - 5次方等于1/a的3次方×1/a的5次方，等于1/a的8次方，即a的 - 8次方，等于a的(- 3) + (- 5)次方。此时这条性质依然成立。我们再取一个0和一个负数，令m = 0，n = - 5，a的0次方乘以a的 - 5次方等于1×1/a的5次方，等于1/a的5次方，即a的 - 5次方，等于a的0 + (- 5)次方。此时这条性质依然成立，同学们可以换其他整数指数再验证这个规律。